Determine se os seguintes conjuntos de vetores são linearmente dependentes ou independentes. Justifique suas respostas.
\{(1,1,0,0),(0,1,1,0),(0,0,1,1)\} em \mathbb{R}^{4}.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto de vetores
v_{1}=(1,1,0,0),\quad v_{2}=(0,1,1,0),\quad v_{3}=(0,0,1,1)
em \mathbb{R}^{4} e pede para verificar se eles são linearmente dependentes ou independentes. O conteúdo usado será a definição de independência linear: o conjunto é independente se a única combinação linear que leva ao vetor zero é a combinação trivial.

Passo 2

Suponha que existam escalares a,b,c\in\mathbb{R} tais que
a\,v_{1}+b\,v_{2}+c\,v_{3}=(0,0,0,0).
Escrevendo coordenada a coordenada, isso dá o sistema
\begin{cases} a = 0,\\\ a + b = 0,\\\ b + c = 0,\\\ c = 0. \end{cases}

Passo 3

Do sistema acima, da primeira equação vem a=0. Da quarta equação vem c=0. Substituindo em b+c=0 obtemos b=0. Logo a=b=c=0, ou seja, a única solução é trivial. Portanto o conjunto é linearmente independente.

Resposta

O conjunto \{(1,1,0,0),(0,1,1,0),(0,0,1,1)\} é linearmente independente.

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