Determine se os seguintes conjuntos de vetores são linearmente dependentes ou independentes. Justifique suas respostas.
\{(1,1,0,0),(0,1,1,0),(0,0,1,1),(0, a, 0,1)\} em \mathbb{R}^{4}, onde a \neq-1.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto de vetores \{(1,1,0,0),(0,1,1,0),(0,0,1,1),(0,a,0,1)\} em \mathbb{R}^4 é linearmente independente ou dependente. O conteúdo da matéria é teste de independência linear e vamos usar o método de resolução do sistema homogêneo
c_1v_1 + c_2v_2 + c_3v_3 + c_4v_4 = 0.

Passo 2

Formamos a combinação linear nula:
c_1(1,1,0,0) + c_2(0,1,1,0) + c_3(0,0,1,1) + c_4(0,a,0,1) = (0,0,0,0).
Isso gera, coordenada a coordenada, o sistema
\begin{cases} c_1 = 0,\\\ c_1 + c_2 + a\,c_4 = 0,\\\ c_2 + c_3 = 0,\\\ c_3 + c_4 = 0. \end{cases}

Passo 3

Da primeira equação vem imediatamente
c_1 = 0.
Substituindo em c_1 + c_2 + a\,c_4 = 0 obtemos
c_2 + a\,c_4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad c_2 = -a\,c_4.

Passo 4

Da terceira equação c_2 + c_3 = 0 segue
c_3 = -c_2 = a\,c_4.
E da quarta equação c_3 + c_4 = 0 temos
a\,c_4 + c_4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (a+1)\,c_4 = 0.
Como no enunciado a \neq -1, conclui-se que c_4 = 0. Então
c_4=0,\quad c_3 = a\,c_4 = 0,\quad c_2=-a\,c_4=0,\quad c_1=0,
ou seja, só existe a solução trivial.

Passo 5

Encontramos apenas a combinação trivial c_1=c_2=c_3=c_4=0. Portanto o conjunto é linearmente independente para todo a\neq -1.

Resposta

O conjunto é linearmente independente em \mathbb{R}^4 sempre que a \neq -1.

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