Considere A=\left[\begin{array}{ccc}2 & 6 & 4 \\\\ -3 & 2 & 5 \\\\ -5 & -4 & 1\end{array}\right], \vec{u}=\left[\begin{array}{c}2 \\\\ -3 \\\\ -5\end{array}\right], \vec{v}=\left[\begin{array}{c}6 \\\\ 2 \\\\ -4\end{array}\right], \vec{w}=\left[\begin{array}{l}4 \\\\ 5 \\\\ 1\end{array}\right] e \vec{r}=\left[\begin{array}{c}1 \\\\ -1 \\\\ 1\end{array}\right]
I. O vetor \overrightarrow{0} \in \operatorname{Nul}(A).
II. O vetor \vec{r} \in \operatorname{Nul}(A).
III. O vetor \vec{w} \in \operatorname{Col}(A).
IV. O vetor \overrightarrow{0} \in \operatorname{Col}(A).
V. \operatorname{Col}(A) é gerado por \vec{u} e \vec{v}, isto é, \operatorname{Col}(A)=\mathfrak{L}\{\vec{u}, \vec{v}\}.
Podemos afirmar que são falsas:
a) Apenas II.
b) II e III.
c) Apenas III.
d) III e V.
e) n.d.a
e os vetores \vec u = \begin{pmatrix}2 \\\\ -3 \\\\ -5\end{pmatrix}, \vec v = \begin{pmatrix}6 \\\\ 2 \\\\ -4\end{pmatrix}, \vec w = \begin{pmatrix}4 \\\\ 5 \\\\ 1\end{pmatrix}, \vec r = \begin{pmatrix}1 \\\\ -1 \\\\ 1\end{pmatrix}.
Queremos ver quais das afirmações I a V são falsas. O conteúdo principal é núcleo (Nul) e espaço coluna (Col) de A.
Passo 2
Afirmação I: “\overrightarrow{0}\in \mathrm{Nul}(A)”.
Como A\cdot\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0} em toda matriz, o vetor nulo sempre pertence ao núcleo.
Logo I é verdadeira.
Afirmação III: “\vec w\in \mathrm{Col}(A)”.
As colunas de A são exatamente \vec u,\vec v,\vec w. Logo \vec w pertence ao espaço coluna de A, tornando III verdadeira.
Passo 5
Afirmação IV: “\overrightarrow{0}\in \mathrm{Col}(A)”.
Qualquer subespaço (e o espaço coluna é subespaço) contém o vetor nulo. Logo IV é verdadeira.
Passo 6
Afirmação V: “\mathrm{Col}(A)=\mathfrak L\{\vec u,\vec v\}”.
Já que \vec u e \vec v são independentes e
\vec w = -1\,\vec u + 1\,\vec v,
concluímos que as três colunas de A geram o mesmo espaço que \{\vec u,\vec v\}. Assim V também é verdadeira.
Passo 7
Como I, II, III, IV e V são todas verdadeiras, não há nenhuma afirmação falsa.