Dada a matriz A=\left[\begin{array}{ccccc}1 & -4 & 0 & 2 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & -5 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right], considere as seguintes afirmações:
I. Uma base para N u l(A) é dada por \left\{\left[\begin{array}{l}4 \\\\ 1 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-2 \\\\ 0 \\\\ 5 \\\\ 1 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}
II. Uma base para \operatorname{Nul}(A) é dada por \left\{\left[\begin{array}{c}-4 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}2 \\\\ -5 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}
III. \operatorname{Col}(A) é um subespaço do \mathbb{R}^{3}.
IV. \operatorname{Col}(A) é um subespaço do \mathbb{R}^{5}.
Podemos afirmar que são verdadeiras:
a) I e III.
b) I e IV.
c) II e III.
d) II e IV.
e) n.d.a

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{bmatrix} 1 & -4 & 0 & 2 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & -5 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix},
que é uma transformação linear de \mathbb{R}^5 em \mathbb{R}^3. Queremos checar duas coisas: qual é uma base de \operatorname{Nul}(A) e em que espaço vive \operatorname{Col}(A). Para isso, vamos usar teoria de nulidade (rank–nullity) e definição de subespaço imagem.

Passo 2

Para achar \operatorname{Nul}(A)\) resolvemos \(A x = 0\). Escrevendo o sistema: \[\begin{cases} x_{1} - 4x_{2} + 2x_{4} = 0,\\\ x_{3} - 5x_{4} = 0,\\\ x_{5} = 0. \end{cases}
Escolhendo x_{2}=t\] e \(x_{4}=s livres, obtemos
x_{1} = 4t - 2s,\quad x_{3} = 5s,\quad x_{5} = 0.
Logo
x = \begin{bmatrix} x_{1}\x_{2}\x_{3}\x_{4}\x_{5} \end{bmatrix} = t \begin{bmatrix} 4\\\ 1\\\ 0\\\ 0\\\ 0 \end{bmatrix} + s \begin{bmatrix} -2\\\ 0\\\ 5\\\ 1\\\ 0 \end{bmatrix}.
Isso mostra que
\{\,(4,1,0,0,0)^T,\;(-2,0,5,1,0)^T\}
é uma base de \operatorname{Nul}(A), confirmando que a afirmação I é verdadeira.

Passo 3

A afirmação II propõe vetores em \mathbb{R}^3 como base de \operatorname{Nul}(A). Mas \operatorname{Nul}(A) é subespaço de \mathbb{R}^5, não de \mathbb{R}^3, e já vimos que sua base tem vetores de dimensão 5. Logo II é falsa.

Passo 4

Por definição, \operatorname{Col}(A) é o subespaço gerado pelas colunas de A. Cada coluna de A é um vetor em \mathbb{R}^3, então \operatorname{Col}(A)\subseteq \mathbb{R}^3. Isso torna III verdadeira e IV falsa.

Resposta

a) I e III.

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