Considere a matriz T=\left[\begin{array}{llllll}1 & 2 & 0 & 2 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 5 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]_{4 \times 6}.
A nulidade (dimensão de N u l(T) ) e o posto (dimensão de \operatorname{Col}(T) ) são respectivamente:
a) 1 e 2 .
b) 1 e 3 .
c) 2 e 4 .
d) 3 e 3 .
e) n.d.a

Passo 1

O enunciado dá a matriz
T = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 2 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 5 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}_{4\times6}
e pede a nulidade \dim\bigl(\mathrm{Nul}(T)\bigr) e o posto \dim\bigl(\mathrm{Col}(T)\bigr). Vamos usar forma escalonada, contagem de pivôs e o teorema do posto–nulidade.

Passo 2

Observando T, já está em forma escalonada: os primeiros elementos não nulos de cada linha (pivôs) estão em
  • coluna 1 (linha 1),
  • coluna 3 (linha 2),
  • coluna 4 (linha 3).
    Logo há 3 pivôs distintos, então
\mathrm{rank}(T)=3.

Passo 3

Pela relação do teorema do posto–nulidade em \mathbb{R}^{6},
\dim\bigl(\mathrm{Nul}(T)\bigr) + \mathrm{rank}(T) = 6.
Substituindo \mathrm{rank}(T)=3, obtemos
\dim\bigl(\mathrm{Nul}(T)\bigr) = 6 - 3 = 3.

Resposta

d) 3 e 3.

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