e pede uma base de \Col(D). Lembrando que \Col(D) é o subespaço de \mathbb{R}^3 gerado pelas colunas de D, e uma base é um conjunto mínimo de vetores linearmente independentes que o geram.
Isso mostra que há dependência linear entre as quatro colunas e que o espaço gerado por elas tem dimensão \rank(D)=2.
Passo 3
Como \dim\bigl(\Col(D)\bigr)=2, basta escolher duas colunas que não sejam múltiplos uma da outra. Por exemplo, \mathbf{d}_3 e \mathbf{d}_4 são claramente independentes (não há escalar \lambda tal que \mathbf{d}_4=\lambda\mathbf{d}_3). Logo
Agora conferimos as alternativas:
a) traz um vetor \begin{pmatrix}3\\\ 11\\\ 19\end{pmatrix} que não é coluna de D.
b) são vetores em \mathbb{R}^4, dimensão errada.
c) o vetor \begin{pmatrix}1\\\ -5\\\ 9\end{pmatrix} nem pertence ao espaço colunar de D.
d) exatamente \{\mathbf{d}_3,\mathbf{d}_4\}, vetores independentes em \mathbb{R}^3.