(3) Considere D=\left[\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 4 \\\\ 5 & 6 & 7 & 8 \\\\ 9 & 10 & 11 & 12\end{array}\right], como no exercício anterior.
Marque a alternativa que apresenta uma base para \operatorname{Col}(D).
a) \left\{\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 5 \\\\ 9\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}3 \\\\ 11 \\\\ 19\end{array}\right]\right\}
b) \left\{\left[\begin{array}{c}1 \\\\ 0 \\\\ -1 \\\\ -2\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 1 \\\\ 2 \\\\ 3\end{array}\right]\right\}
c) \left\{\left[\begin{array}{c}2 \\\\ 6 \\\\ 10\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}1 \\\\ -5 \\\\ 9\end{array}\right]\right\}
d) \left\{\left[\begin{array}{c}3 \\\\ 7 \\\\ 11\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}4 \\\\ 8 \\\\ 12\end{array}\right]\right\}
e) n.d.a

Passo 1

O enunciado dá a matriz
D=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\\\ 5 & 6 & 7 & 8\\\\ 9 & 10 & 11 & 12 \end{pmatrix}
e pede uma base de \Col(D). Lembrando que \Col(D) é o subespaço de \mathbb{R}^3 gerado pelas colunas de D, e uma base é um conjunto mínimo de vetores linearmente independentes que o geram.

Passo 2

Vamos anotar as colunas de D como
\mathbf{d}_1=\begin{pmatrix}1\\\ 5\\\ 9\end{pmatrix},\quad \mathbf{d}_2=\begin{pmatrix}2\\\ 6\\\ 10\end{pmatrix},\quad \mathbf{d}_3=\begin{pmatrix}3\\\ 7\\\ 11\end{pmatrix},\quad \mathbf{d}_4=\begin{pmatrix}4\\\ 8\\\ 12\end{pmatrix}.
Note que
\mathbf{d}_2-\mathbf{d}_1 =\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix},\quad \mathbf{d}_3-\mathbf{d}_2 =\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix},\quad \mathbf{d}_4-\mathbf{d}_3 =\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.
Isso mostra que há dependência linear entre as quatro colunas e que o espaço gerado por elas tem dimensão \rank(D)=2.

Passo 3

Como \dim\bigl(\Col(D)\bigr)=2, basta escolher duas colunas que não sejam múltiplos uma da outra. Por exemplo, \mathbf{d}_3 e \mathbf{d}_4 são claramente independentes (não há escalar \lambda tal que \mathbf{d}_4=\lambda\mathbf{d}_3). Logo
\bigl\{\mathbf{d}_3,\mathbf{d}_4\bigr\} =\left\{\begin{pmatrix}3\\\ 7\\\ 11\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}4\\\ 8\\\ 12\end{pmatrix}\right\}
é uma base de \Col(D).

Passo 4

Agora conferimos as alternativas:
a) traz um vetor \begin{pmatrix}3\\\ 11\\\ 19\end{pmatrix} que não é coluna de D.
b) são vetores em \mathbb{R}^4, dimensão errada.
c) o vetor \begin{pmatrix}1\\\ -5\\\ 9\end{pmatrix} nem pertence ao espaço colunar de D.
d) exatamente \{\mathbf{d}_3,\mathbf{d}_4\}, vetores independentes em \mathbb{R}^3.

Resposta

d)

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