(5) Considere a matriz
. Encontre todos os autovalores de
, e para cada autovalor, encontre um autovetor associado.
Resposta da questão (5):
Passo 1
O enunciado dá a matriz
e pede todos os autovalores
e, para cada um, um autovetor não nulo
tal que
Vamos usar o polinômio característico
e, depois, resolver o sistema homogêneo
.
Passo 2
Formamos o determinante
Expandindo pela primeira linha:
Calculamos
e
Logo
Passo 3
As raízes do polinômio característico
são
Passo 4
Para cada [\lambda), resolvemos
:
das duas primeiras equações vem
, que já satisfazem a terceira. Tomando
obtemos
daqui
. Tomando
dá
as duas primeiras dão
, então
. A terceira se verifica automaticamente. Tomando
obtemos
Resposta
Os autovalores são
.
Autovetores correspondentes (um para cada valor):
Autovetores correspondentes (um para cada valor):