(5) Considere a matriz C=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -2 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ -1 & 2 & 4\end{array}\right]. Encontre todos os autovalores de C, e para cada autovalor, encontre um autovetor associado.

Resposta da questão (5):

Passo 1

O enunciado dá a matriz
C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2\\\\ 0 & 1 & 1\\\\ -1 & 2 & 4 \end{pmatrix}
e pede todos os autovalores \lambda e, para cada um, um autovetor não nulo v tal que
C\,v = \lambda\,v.
Vamos usar o polinômio característico \det(C-\lambda I)=0 e, depois, resolver o sistema homogêneo (C-\lambda I)v=0.

Passo 2

Formamos o determinante
\det\bigl(C - \lambda I\bigr) = \det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 0 & -2\\\\ 0 & 1-\lambda & 1\\\\ -1 & 2 & 4-\lambda \end{pmatrix}.
Expandindo pela primeira linha:
(1-\lambda)\bigl((1-\lambda)(4-\lambda)-2\bigr) \;-\;2\bigl(0 - (1-\lambda)(-1)\bigr).
Calculamos
(1-\lambda)\bigl((1-\lambda)(4-\lambda)-2\bigr) = (1-\lambda)\bigl(\lambda^2-5\lambda+2\bigr),
e
-2\bigl(0 - (1-\lambda)(-1)\bigr) = -2(1-\lambda).
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\det(C-\lambda I) = (1-\lambda)(\lambda^2-5\lambda+2) -2(1-\lambda) = (1-\lambda)(\lambda^2-5\lambda) = \lambda\,(1-\lambda)\,(\lambda-5).

Passo 3

As raízes do polinômio característico \lambda\,(1-\lambda)\,(\lambda-5)=0 são
\lambda_1 = 0,\quad \lambda_2 = 1,\quad \lambda_3 = 5.

Passo 4

Para cada [\lambda), resolvemos (C-\lambda I)v=0:
\lambda=0:
C\,v = 0\;\Longrightarrow\; \begin{cases} x - 2z = 0,\\\ y + z = 0,\\\\ -\,x +2y +4z =0, \end{cases}
das duas primeiras equações vem x=2z\], \[y=-z, que já satisfazem a terceira. Tomando z=1 obtemos
v_1 = \begin{pmatrix}2\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix}.
\lambda=1:
(C - I)v = 0\;\Longrightarrow\; \begin{cases} -2z = 0,\\\ z = 0,\\\\ -\,x +2y =0, \end{cases}
daqui z=0\] e \[x=2y. Tomando y=1
v_2 = \begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.
\lambda=5:
(C -5I)v = 0\;\Longrightarrow\; \begin{cases} -4x -2z =0,\\\\ -4y + z =0,\\\\ -\,x +2y - z =0, \end{cases}
as duas primeiras dão z=-2x\] e \(z=4y, então y=-x/2. A terceira se verifica automaticamente. Tomando x=2 obtemos
v_3 = \begin{pmatrix}2\\\ -1\\\ -4\end{pmatrix}.

Resposta

Os autovalores são
\lambda=0,1,5.
Autovetores correspondentes (um para cada valor):
\lambda=0:\;\begin{pmatrix}2\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix},\quad \lambda=1:\;\begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},\quad \lambda=5:\;\begin{pmatrix}2\\\ -1\\\ -4\end{pmatrix}.

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