(1) O determinante da matriz B=\left[\begin{array}{cccccc}1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & -2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1\end{array}\right] é:
a) -1
b) 1
c) 7
d) 12
e) n.d.a

Passo 1

O enunciado pede o determinante da matriz B de ordem 6. Vamos usar a propriedade de matrizes em bloco triangular para simplificar o cálculo.

Passo 2

Observe que todas as entradas de B nas posições (4,1) até (6,3) são zero. Logo podemos particionar
B = \begin{pmatrix} A & C \\\\ 0 & D \end{pmatrix}
onde
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\\\ 0 & 3 & -2 \\\\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Pela propriedade de determinante de matriz em bloco triangular,
\det(B) = \det(A)\,\det(D).

Passo 4

Como A é triangular superior,
\det(A) = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1.

Passo 5

Para D, expandindo pela primeira coluna (onde só o elemento d_{11}=1 é não nulo),
\det(D) = 1 \cdot \det\begin{pmatrix}3 & -2 \\\\ 2 & 1\end{pmatrix} = 3\cdot 1 - (-2)\cdot 2 = 3 + 4 = 7.

Passo 6

Concluímos que
\det(B) = \det(A)\,\det(D) = 1 \cdot 7 = 7.

Resposta

(c)

Exercícios relacionados