(4) Considere a matriz T=\left[\begin{array}{ccccc}5 & 1 & 3 & 4 & -4 \\\\ 0 & 1 & 3 & -1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 & -1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0\end{array}\right]_{4 \times 6}.
A nulidade (dimensão de N u l(T) ) e o posto (dimensão de \operatorname{Col}(T) ) são respectivamente:
a) 3 e 2 .
b) 3 e 1 .
c) 1 e 3 .
d) 2 e 3 .
e) n.d.a

Passo 1

O enunciado pede a nulidade (dimensão de \mathrm{Nul}(T)) e o posto (dimensão de \mathrm{Col}(T)) da matriz
T=\begin{pmatrix} 5 & 1 & 3 & 4 & -4\\\\ 0 & 1 & 3 & -1 & 1\\\\ 0 & 1 & 1 & -1 & 1\\\\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Aqui o conteúdo é Álgebra Linear, em particular usar escalonamento e o Teorema da Dimensão (post o+nulidade = número de colunas).

Passo 2

Note que T tem 5 colunas, então
\dim(\mathrm{Nul}(T)) + \dim(\mathrm{Col}(T)) = 5.
Basta encontrar \dim(\mathrm{Col}(T)) (posto) por escalonamento e depois achar a nulidade.

Passo 3

Aplicando operações elementares escalonamos T. Por exemplo, trocamos a 1ª e a 4ª linha e eliminamos abaixo dos pivôs, chegando a
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & -1\\\\ 0 & 1 & 0 & -1 & 1\\\\ 0 & 0 & -2 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Aqui aparecem pivôs nas colunas 1, 2 e 3.

Passo 4

Como há 3 pivôs, \dim(\mathrm{Col}(T))=3. Daí
\dim(\mathrm{Nul}(T)) = 5 - 3 = 2.

Resposta

d) \dim(\mathrm{Nul}(T))=2 e \dim(\mathrm{Col}(T))=3.

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