(2) Considere A=\left[\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 4 \\\\ 5 & 6 & 7 & 8 \\\\ 9 & 10 & 11 & 12\end{array}\right].
Marque a única alternativa que apresenta um vetor de \operatorname{Nul}(A) :
a) \left[\begin{array}{c}1 \\\\ -2 \\\\ 1 \\\\ 0\end{array}\right]
b) \left[\begin{array}{c}1 \\\\ 0 \\\\ -1 \\\\ -2\end{array}\right]
c) \left[\begin{array}{l}0 \\\\ 1 \\\\ 2 \\\\ 3\end{array}\right]
d) \left[\begin{array}{c}-3 \\\\ 5 \\\\ 0\end{array}\right]
e) n.d.a

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\\\ 5 & 6 & 7 & 8\\\\ 9 & 10 & 11 & 12 \end{pmatrix}
e pede um vetor não-nulo em \mathrm{Nul}(A), ou seja, solução de
A x = 0.
O conteúdo é eliminação de Gauss para obter a forma escalonada e, em seguida, a descrição do espaço nulo.

Passo 2

Aplicamos eliminação em
\bigl[A\mid0\bigr].
Subtraindo 5 vezes a primeira linha da segunda e 9 vezes a primeira da terceira, temos
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 &\mid&0\\\\ 0 & -4 & -8 & -12 &\mid&0\\\\ 0 & -8 & -16 & -24 &\mid&0 \end{pmatrix}.
Depois eliminamos a terceira linha com múltiplo da segunda e dividimos a segunda por -4, obtendo a forma escalonada reduzida
\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & -2 &\mid&0\\\\ 0 & 1 & 2 & 3 &\mid&0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 &\mid&0 \end{pmatrix}.

Passo 3

Das equações escalonadas temos
x_{1} - x_{3} - 2x_{4} = 0, \quad x_{2} + 2x_{3} + 3x_{4} = 0,
com x_{3}=s e x_{4}=t livres. Logo
x_{1} = s + 2t, \quad x_{2} = -2s - 3t,
e o vetor geral de \mathrm{Nul}(A) é
x = \begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\x_{3}\x_{4}\end{pmatrix} = s\begin{pmatrix}1\\\ -2\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}2\\\ -3\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 4

Qualquer vetor de \mathrm{Nul}(A) é combinação linear das colunas \bigl[\begin{smallmatrix}1\\\ -2\\\ 1\\\ 0\end{smallmatrix}\bigr] e \bigl[\begin{smallmatrix}2\\\ -3\\\ 0\\\ 1\end{smallmatrix}\bigr].
A única opção que coincide com um desses geradores é
\begin{pmatrix}1\\\ -2\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}, alternativa (a).

Resposta

(a)

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