Dada a matriz A=\left[\begin{array}{cccc}5 & 5 & 0 & 2 \\\\ 0 & 2 & -3 & 6 \\\\ 0 & 0 & 0 & -2 \\\\ 0 & 0 & 0 & -5\end{array}\right], considere as seguintes afirmações:
I. Todos os autovalores de A são 5,2 e -5. II. Todos os autovalores de A são 5,-2,-5 e 0 .
III. \vec{v}=\left[\begin{array}{l}5 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right] é um autovetor de A.
IV. \vec{v}=\left[\begin{array}{c}0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ -5\end{array}\right] é um autovetor de A.
Podemos afirmar que são verdadeiras:
a) II e III.
b) I, III e IV.
c) Apenas III.
d) I e III.
e) n.d.a

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix} 5 & 5 & 0 & 2 \\\\ 0 & 2 & -3 & 6 \\\\ 0 & 0 & 0 & -2 \\\\ 0 & 0 & 0 & -5 \end{pmatrix}
e pede para avaliar quatro afirmações sobre os autovalores e autovetores de A. O conteúdo principal é que, para matrizes triangulares, os autovalores são os elementos da diagonal, e para checar se um vetor é autovetor basta verificar A\vec v = \lambda\vec v.

Passo 2

Como A é triangular superior, os autovalores são exatamente as entradas da diagonal:
5,\;2,\;0,\;-5.
Portanto o conjunto correto de autovalores é \{5,2,0,-5\}.

Passo 3

A afirmação I diz que os autovalores são apenas 5,2 e -5, mas isso ignora o 0. Logo I é falsa.
A afirmação II lista 5,-2,-5 e 0, mas o correto é 2, não -2. Logo II também é falsa.

Passo 4

Para III tomamos
\vec v=\begin{pmatrix}5\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}
e calculamos
A\vec v =\begin{pmatrix} 5\cdot5 + 5\cdot0 + 0\cdot0 + 2\cdot0 \\\\ 0\cdot5 + 2\cdot0 - 3\cdot0 + 6\cdot0 \\\\ 0 \\\\ 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}25\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} =5\begin{pmatrix}5\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} =5\vec v.
Como A\vec v=5\vec v, \vec v é autovetor de A. Logo III é verdadeira.

Passo 5

Para IV tomamos
\vec v=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ -5\end{pmatrix}
e calculamos
A\vec v =-5\begin{pmatrix}2\\\ 6\\\ -2\\\ -5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-10\\\ -30\\\ 10\\\ 25\end{pmatrix},
que não é múltiplo escalar de \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ -5\end{pmatrix}. Portanto IV é falsa.

Passo 6

Das quatro afirmações, apenas a III é verdadeira.

Resposta

c) Apenas III.

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