Consideremos em \mathbb{P}_{2} o produto interno \langle p, q\rangle=a_{2} b_{2}+a_{1} b_{1}+a_{0} b_{0}, onde p=a_{2} x^{2}+a_{1} x+a_{0} e q=b_{2} x^{2}+b_{1} x+b_{0}. Dados os vetores p_{1}=x^{2}-2 x+3, p_{2}=3 x-4 \mathrm{e} p_{3}=1-x^{2}, calcule:
\left\|p_{2}-p_{3}\right\|

Passo 1

O enunciado dá um produto interno em \mathbb{P}_{2} e três polinômios. Pede para calcular \left\|p_{2}-p_{3}\right\|. Informações dadas que vou usar explicitamente:
\langle p,q\rangle = a_{2}b_{2}+a_{1}b_{1}+a_{0}b_{0},
onde p=a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0} e q=b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0}.
Os polinômios fornecidos são:
p_{1}=x^{2}-2x+3,\quad p_{2}=3x-4,\quad p_{3}=1-x^{2}.
A única pergunta é: calcular \left\|p_{2}-p_{3}\right\|.

Passo 2

Explicando a ideia chave (passo-a-passo didático): a norma associada a um produto interno é definida por
\|p\|=\sqrt{\langle p,p\rangle}.
Aqui, cada polinômio p corresponde ao vetor de coeficientes (a_{2},a_{1},a_{0}). O produto interno dado é simplesmente o produto escalar usual desses vetores de coeficientes:
\langle p,q\rangle = (a_{2},a_{1},a_{0})\cdot(b_{2},b_{1},b_{0}) = a_{2}b_{2}+a_{1}b_{1}+a_{0}b_{0}.
Portanto, para obter \|p_{2}-p_{3}\| eu vou:
  1. encontrar os coeficientes de p_{2} e p_{3};
  2. subtrair coeficiente a coeficiente para obter p_{2}-p_{3};
  3. calcular \langle p_{2}-p_{3},\,p_{2}-p_{3}\rangle (que é a soma dos quadrados dos coeficientes);
  4. tirar a raiz quadrada.

Passo 3

Pegando os coeficientes dos polinômios dados (extraído diretamente do enunciado):
Para p_{2}=3x-4 temos
a_{2}^{(2)}=0,\quad a_{1}^{(2)}=3,\quad a_{0}^{(2)}=-4.
Para p_{3}=1-x^{2} temos
a_{2}^{(3)}=-1,\quad a_{1}^{(3)}=0,\quad a_{0}^{(3)}=1.

Passo 4

Subtraindo coeficiente a coeficiente para obter p_{2}-p_{3}:
\begin{aligned} \text{coeficiente de }x^{2}:&\quad 0-(-1)=1,\\\ \text{coeficiente de }x:&\quad 3-0=3,\\\ \text{termo constante:}&\quad -4-1=-5. \end{aligned}
Logo
p_{2}-p_{3}=1\cdot x^{2}+3\cdot x+(-5)=x^{2}+3x-5.

Passo 5

Calcular o produto interno de p_{2}-p_{3} consigo mesmo (ou seja, a norma ao quadrado). Usando os coeficientes (1,3,-5):
\langle p_{2}-p_{3},\,p_{2}-p_{3}\rangle = 1^{2}+3^{2}+(-5)^{2}=1+9+25=35.

Passo 6

Agora a norma é a raiz quadrada desse valor:
\left\|p_{2}-p_{3}\right\|=\sqrt{35}.
Dica amiga: pense sempre nesses polinômios como vetores de três coordenadas; com esse produto interno a norma é só a raiz da soma dos quadrados das coordenadas — bem parecido com distância euclidiana em \mathbb{R}^{3}. Você consegue repetir esse procedimento rápido na prova: extrai coeficientes, subtrai, soma quadrados, raiz.

Resposta

\sqrt{35}

Exercícios relacionados