Considere a lei de resfriamento de Newton, d T / d t=k(T-Tm), k<0, em que a temperatura do meio ambiente Tm varia com o tempo. Suponha que a temperatura inicial de um corpo seja T1 e que a temperatura inicial do meio ambiente seja T2 e Tm=T2+B(T1-T), em que B>0 é uma constante.
(a) Encontre a temperatura do corpo em qualquer instante t.
(b) Qual é o valor limite da temperatura quando t infty ?
(c) Qual é o valor limite de Tm quando t infty ?

Passo 1

O enunciado trata da lei de resfriamento de Newton com temperatura ambiente variável, dada por
dTdt = kl(T - Tm(t)r), k<0,
onde a temperatura do meio é
Tm(t)=T2+Bl(T1-T(t)r),
com B>0. Precisamos resolver essa EDO para T(t), e depois encontrar os limites de T(t) e Tm(t) quando ttoinfty.

Passo 2

Substituindo Tm(t) no lado direito da EDO, temos
dTdt = kl[T - (T2+B(T1-T))r] = kl[(1+B)T - (T2+B,T1)r]
Para simplificar, defina
alpha = 1+B, C = T2+B,T1
Então a EDO fica
dTdt = kl(alpha,T - Cr)

Passo 3

Escrevemos a EDO na forma padrão
dTdt - k,alpha,T = -k,C
e usamos o fator integrante
mu(t) = e^-kalpha t
Multiplicando ambos os lados por mu(t) obtém-se
ddtl(e^-kalpha t,Tr) = -k,C,e^-kalpha t
Integrando em t,
e^-kalpha t,T = integral -k,C,e^-kalpha t,dt = Calphae^-kalpha t + D,
onde D é constante de integração. Logo
T(t) = Calpha + D,e^kalpha t

Passo 4

Usando a condição inicial T(0)=T1, temos
T1 = Calpha + D Longrightarrow D = T1 - Calpha
Substituindo de volta,
T(t) = Calpha + l(T1-Calphar)e^kalpha t = T2+B,T11+B + l(T1-T2+B,T11+Br)e^k(1+B)t

Passo 5

Para ttoinfty, como k<0 e alpha=1+B>0, o termo exponencial se anula, ficando
limttoinftyT(t) = T2+B,T11+B

Passo 6

A temperatura ambiente é
Tm(t) = T2+Bl(T1-T(t)r)
Substituindo T(t) e tomando ttoinfty, o exponencial também vai a zero, de modo que
limttoinftyTm(t) = T2+Bl(T1-T2+B,T11+Br) = T2+B,T11+B

Resposta

(a) T(t)=T2+B,T11+B+!l(T1-T2+B,T11+Br)e^k(1+B)t
(b) limttoinftyT(t)=T2+B,T11+B
(c) limttoinftyTm(t)=T2+B,T11+B

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