Considere a lei de resfriamento de Newton,
, em que a temperatura do meio ambiente
varia com o tempo. Suponha que a temperatura inicial de um corpo seja
e que a temperatura inicial do meio ambiente seja
e
, em que
é uma constante.
(a) Encontre a temperatura do corpo em qualquer instante
.
(b) Qual é o valor limite da temperatura quando
?
(c) Qual é o valor limite de
quando
?
(a) Encontre a temperatura do corpo em qualquer instante
(b) Qual é o valor limite da temperatura quando
(c) Qual é o valor limite de
Passo 1
O enunciado trata da lei de resfriamento de Newton com temperatura ambiente variável, dada por
onde a temperatura do meio é
com
. Precisamos resolver essa EDO para
, e depois encontrar os limites de
e
quando
.
Passo 2
Substituindo
no lado direito da EDO, temos
Para simplificar, defina
Então a EDO fica
Passo 3
Escrevemos a EDO na forma padrão
e usamos o fator integrante
Multiplicando ambos os lados por
obtém-se
Integrando em
,
onde
é constante de integração. Logo
Passo 4
Usando a condição inicial
, temos
Substituindo de volta,
Passo 5
Para
, como
e
, o termo exponencial se anula, ficando
Passo 6
A temperatura ambiente é
Substituindo
e tomando
, o exponencial também vai a zero, de modo que
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)