Considere o limite lim x 0 cos x-1sen(2 x).
É CORRETO afirmar que:
(a) O limite existe e é igual a 1.
(b) O limite não existe porque é uma indeterminação.
© O limite não existe porque tende a pm infty quando x 0.
(d) O limite existe e é igual a -1 .
(e) O limite existe e é igual a 0 .

Passo 1

Beleza, o problema pede para calcular o limite limxto0 cos x - 1sin(2x). O conteúdo é de limites de funções trigonométricas e vamos precisar identificar a forma indeterminada e usar a regra de L’Hôpital (ou séries de Taylor) para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a forma indeterminada. Substituindo x=0: cos0 - 1 = 0 e sin(2cdot0) = 0. Isso nos dá uma forma 0/0, então podemos aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 3

Aplicando a regra de L’Hôpital, derivamos numerador e denominador em relação a x:
ddx(cos x - 1) = -sin x, ddxl(sin(2x)r) = 2cos(2x)
Logo o limite passa a ser
limxto0 -sin x2cos(2x)

Passo 4

Agora avaliamos esse novo limite em x=0: como sin0=0 e cos(2cdot0)=1, temos
limxto0 -sin x2cos(2x) = -02cdot1 = 0
Portanto o limite existe e vale 0.

Resposta

0

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