Decida quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor. Dentre as convergentes, tente determinar aquelas que são absolutamente convergentes.
Passo 1
O enunciado pede para estudarmos a convergência da integral imprópria , com , e, entre as convergentes, verificar quais são absolutamente convergentes e, ainda que possível, calcular o valor da integral.
Passo 2
Para testar a convergência (condicional) usamos o Teste de Dirichlet: definimos , cuja integral parcial é limitada, e , que é monotonicamente decrescente para e tende a zero quando . Assim, por Dirichlet, converge para todo .
Passo 3
Para a convergência absoluta, consideramos . Como 0<=|cos x|<=1, temos |cos x|/x^alpha<=1/x^alpha. E integral1^inftyx^-alphadx converge somente quando alpha>1. Logo, a integral original é absolutamente convergente apenas se alpha>1; para 0 ela é somente condicional.
Passo 4
Para expressar o valor da integral, escrevemos cos x=Re,e^ix e observamos que, para alphaneq1,
onde Gamma(s,z) é a função gama incompleta superior. No caso especial alpha=1, temos a integral dos cosenos sobre 1/x:
sendo a função Cosine Integral.
Resposta
A integral integral1^inftycos xx^alphadx converge condicionalmente para todo alpha>0 (por Dirichlet) e converge absolutamente somente se alpha>1.\nValor da integral:\n- Para alphaneq1:
- Para nintegral1^inftycos xx^alphadx=Rel(e^itfracpi2(1-alpha),Gamma(1-alpha,i)r):