Decida quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor. Dentre as convergentes, tente determinar aquelas que são absolutamente convergentes.
integral1^infty cos xx^alpha d x, alpha>0

Passo 1

O enunciado pede para estudarmos a convergência da integral imprópria integral1^inftycos xx^alpha,dx, com alpha>0, e, entre as convergentes, verificar quais são absolutamente convergentes e, ainda que possível, calcular o valor da integral.

Passo 2

Para testar a convergência (condicional) usamos o Teste de Dirichlet: definimos f(x)=cos x, cuja integral parcial F(X)=integral1^Xcos t,dt=sin X-sin1 é limitada, e g(x)=1/x^alpha, que é monotonicamente decrescente para x>=1 e tende a zero quando xtoinfty. Assim, por Dirichlet, integral1^inftycos xx^alpha,dx converge para todo alpha>0.

Passo 3

Para a convergência absoluta, consideramos integral1^inftyl|cos xr|,x^-alphadx. Como 0<=|cos x|<=1, temos |cos x|/x^alpha<=1/x^alpha. E integral1^inftyx^-alphadx converge somente quando alpha>1. Logo, a integral original é absolutamente convergente apenas se alpha>1; para 0 ela é somente condicional.

Passo 4

Para expressar o valor da integral, escrevemos cos x=Re,e^ix e observamos que, para alphaneq1,
integral1^inftycos xx^alpha,dx =Reintegral1^inftyx^-alphae^ixdx =Rel(e^ipi2(1-alpha),Gammal(1-alpha,ir)r),
onde Gamma(s,z) é a função gama incompleta superior. No caso especial alpha=1, temos a integral dos cosenos sobre 1/x:
sendo a função Cosine Integral.

Resposta

A integral integral1^inftycos xx^alphadx converge condicionalmente para todo alpha>0 (por Dirichlet) e converge absolutamente somente se alpha>1.\nValor da integral:\n- Para alphaneq1:

- Para nintegral1^inftycos xx^alphadx=Rel(e^itfracpi2(1-alpha),Gamma(1-alpha,i)r):

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