Utilize as regras de L’Hospital para determinar lim x +infty x ln xx^3+3 x^2+2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto+infty dfracxln xx^3+3x^2+2 usando a regra de L’Hospital. Esse é um tópico de cálculo diferencial, e vamos precisar reconhecer a forma indeterminada e derivar numerador e denominador.

Passo 2

Primeiro, verificamos o tipo de indeterminação. À medida que xto+infty, temos numerador xln xto+infty e denominador x^3+3x^2+2to+infty, ou seja, forma infty/infty, então podemos aplicar L’Hospital.

Passo 3

Aplicando L’Hospital pela primeira vez, derivamos numerador e denominador:
Derivada do numerador
ddx(xln x)=ln x+1
Derivada do denominador
ddx(x^3+3x^2+2)=3x^2+6x
Logo o limite vira
limxto+inftyln x+13x^2+6x

Passo 4

No novo limite, à medida que xto+infty, numerador ln x+1to+infty e denominador 3x^2+6xto+infty, novamente forma infty/infty. Aplicamos L’Hospital pela segunda vez:
Derivada do numerador
ddx(ln x+1)=1x
Derivada do denominador
ddx(3x^2+6x)=6x+6
Então o limite passa a ser
limxto+infty1/x6x+6

Passo 5

Agora simplificamos a fração:
1/x6x+6=1x(6x+6)=16x^2+6x
Como 6x^2+6xto+infty quando xto+infty, essa expressão tende a zero.

Passo 6

Concluímos que o limite original é zero.

Resposta

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