Considere o limite lim z i(|z|+i Arg(i z)).
(a) A que valor tende o limite à medida que z se aproxima de i ao longo da circunferência unitária |z|=1 nut primeiro quadrante?
(b) A que valor tende o limite à medida que z se aproxima de i ao longo da circunferência unitária |z|=1 net segundo quadrante?
© Com base nas respostas para (a) e (b), o que você pode dizer a respeito de lim z i(|z|+i Arg(i z)) ?

Passo 1

A questão pede o limite aproximando-se de limzto il(|z|+i,Arg(i z)r) ao longo da circunferência unitária i, primeiro pelo primeiro quadrante e depois pelo segundo. O assunto envolve noções de continuidade do módulo |z|=1 e da função (ramo principal limitado a |z|).

Passo 2

Para estudar o comportamento ao longo de |z|=1, parametrizamos z=e^itheta com thetatotfracpi2. Nesse caso |z|=1 e
i z = i,e^itheta = e^i(theta+tfracpi2)

Passo 3

No primeiro quadrante temos 0, então theta+tfracpi2in(tfracpi2,pi) e o ramo principal dá

Passo 4

Fazendo thetatotfracpi2^- obtemos . Logo neste caminho

Passo 5

No segundo quadrante temos tfracpi2, então theta+tfracpi2in(pi,tfrac3pi2). Para ficar no ramo principal, subtrai-se 2pi:

Passo 6

Fazendo thetatotfracpi2^+ obtemos . Nesse caminho

Passo 7

Como os dois limites ao longo de caminhos distintos são diferentes, não existe limite único de quando |z|+iArg(i z).

Resposta

a) 1 + ipi. b) 1 - ipi. c) O limite não existe, pois os valores dependem do caminho de aproximação.

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