Considere o limite
.
(a) A que valor tende o limite à medida que
se aproxima de
ao longo da circunferência unitária
nut primeiro quadrante?
(b) A que valor tende o limite à medida que
se aproxima de
ao longo da circunferência unitária
net segundo quadrante?
© Com base nas respostas para (a) e (b), o que você pode dizer a respeito de
?
(a) A que valor tende o limite à medida que
(b) A que valor tende o limite à medida que
© Com base nas respostas para (a) e (b), o que você pode dizer a respeito de
Passo 1
A questão pede o limite aproximando-se de
ao longo da circunferência unitária
, primeiro pelo primeiro quadrante e depois pelo segundo. O assunto envolve noções de continuidade do módulo
e da função (ramo principal limitado a
).
Passo 2
Para estudar o comportamento ao longo de
, parametrizamos
com
. Nesse caso
e
Passo 3
No primeiro quadrante temos
, então
e o ramo principal dá
Passo 4
Fazendo
obtemos . Logo neste caminho
Passo 5
No segundo quadrante temos
, então
. Para ficar no ramo principal, subtrai-se
:
Passo 6
Fazendo
obtemos . Nesse caminho
Passo 7
Como os dois limites ao longo de caminhos distintos são diferentes, não existe limite único de quando
.
Resposta
a)
. b)
. c) O limite não existe, pois os valores dependem do caminho de aproximação.