Estudar a convergencia das séries de termos gerais

Passo 1

Temos a série alternante a partir de n=2 definida por un = (-1)^n(ln n),(n^1/n). O conteúdo aqui é convergência de séries alternantes, e para resolver vamos usar o Critério de Leibniz (convergência condicional) e depois testar a convergência absoluta.

Passo 2

Definimos an = |un| = 1(ln n),(n^1/n) e verificamos o limite como n→∞.
limntoinfty an = limntoinfty 1ln n,n^1/n = 0, pois ln ntoinfty e n^1/nto1.
Mostramos que (an) é decrescente para n suficientemente grande. Sabemos que a função x^1/x é decrescente para x>= e e que ln x é crescente. Assim, para n>=3 o produto (ln n)(n^1/n) cresce com n, o que implica que an decresce.

Passo 3

Pelo Critério de Leibniz, como anto0 e (an) é decrescente, a série alternante sumn=2^infty (-1)^n an converge.

Passo 4

Para testar a convergência absoluta, observamos que para n grande n^1/n<=2, logo
an = 1(ln n)(n^1/n) >= 12ln n
Mas a série sum1ln n diverge (por exemplo, pelo Teste da Integral), então sum an diverge e a série não converge absolutamente.

Resposta

A série sumn=2^infty un converge condicionalmente pelo Critério de Leibniz e não converge absolutamente.

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