Considere o limite lim z 0 Re(z)Im(z).
(a) A que valor tende o limite à medida que z se aproxima de 0 ao longo da reta y=x ?
(b) A que valor tende o limite à medida que z se aproxima de 0 ao longo do eixo imaginário?
© Com base nas respostas para (a) e (b), o que você pode dizer a respeito de lim z 0 Re(z)Im(z) ?

Passo 1

A questão pede para analisar o limite de uma função de variável complexa, mais precisamente f(z)=Re(z)Im(z), quando zto0. Vamos usar o conceito de limites por caminhos diferentes em C e verificar se o valor é consistente.

Passo 2

Tomando o caminho y=x, escrevemos z=x+ix. Então Re(z)=x e Im(z)=x, e para xneq0 temos
Re(z)Im(z)=xx=1
À medida que xto0, o quociente tende a 1.

Passo 3

Agora siga pelo eixo imaginário: z=iy, com yto0. Nesse caso Re(z)=0 e Im(z)=y, logo para yneq0
Re(z)Im(z)=0y=0
Assim, quando yto0, o quociente tende a 0.

Passo 4

Como obtivemos valores diferentes (1 pelo caminho y=x e 0 pelo eixo imaginário), o limite de Re(z)Im(z) em zto0 depende do caminho. Logo, o limite não existe.

Resposta

(a) 1
(b) 0
© O limite não existe.

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