Considere o limite
.
(a) A que valor tende o limite à medida que
se aproxima de 0 ao longo da reta
?
(b) A que valor tende o limite à medida que
se aproxima de 0 ao longo do eixo imaginário?
© Com base nas respostas para (a) e (b), o que você pode dizer a respeito de
?
(a) A que valor tende o limite à medida que
(b) A que valor tende o limite à medida que
© Com base nas respostas para (a) e (b), o que você pode dizer a respeito de
Passo 1
A questão pede para analisar o limite de uma função de variável complexa, mais precisamente
, quando
. Vamos usar o conceito de limites por caminhos diferentes em
e verificar se o valor é consistente.
Passo 2
Tomando o caminho
, escrevemos
. Então
e
, e para
temos
À medida que
, o quociente tende a 1.
Passo 3
Agora siga pelo eixo imaginário:
, com
. Nesse caso
e
, logo para
Assim, quando
, o quociente tende a 0.
Passo 4
Como obtivemos valores diferentes (1 pelo caminho
e 0 pelo eixo imaginário), o limite de
em
depende do caminho. Logo, o limite não existe.
Resposta
(a) 1
(b) 0
© O limite não existe.
(b) 0
© O limite não existe.