Estudar a convergencia das séries de termos gerais

Passo 1

Neste exercício, temos a série de termos gerais un = lnl(1+tfrac1nr). O objetivo é verificar se a série sumn=1^infty un converge ou diverge. O conteúdo envolve séries numéricas e testes de convergência, especialmente telescópicos e comparações assintóticas.

Passo 2

Podemos usar a propriedade de logaritmos para reescrever o termo geral:
lnl(1+tfrac1nr)=lnl(tfracn+1nr)=ln(n+1)-ln n
Isso sugere um cancelamento telescópico ao somar os termos. Vamos calcular a soma parcial SN:
SN=sumk=1^N uk=sumk=1^Nl[ln(k+1)-ln kr]

Passo 3

Na soma, a maior parte dos termos se cancela, sobrando apenas:
SN=ln(N+1)-ln1=ln(N+1)

Passo 4

Agora analisamos o limite das somas parciais quando Ntoinfty:
limNtoinftySN=limNtoinftyln(N+1)=+infty

Passo 5

Como as somas parciais não tendem a um valor finito, a série diverge.

Passo 6

Alternativamente, podemos usar comparação assintótica. Para grandes n:
lnl(1+tfrac1nr)simtfrac1n,
e a série harmônica sum1/n é divergente. Pelo teste de comparação, sumln(1+1/n) também diverge.

Resposta

A série sumn=1^inftylnl(1+tfrac1nr) diverge.

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