Estudar a convergencia das séries de termos gerais
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série de termos gerais
. O conteúdo principal envolve testes de convergência de séries, em particular reconhecimento de série telescópica e comparação assintótica com séries p. Vamos precisar fatorar a expressão dentro do log para ver o telescópico e confirmar o comportamento quando
.
Passo 2
Observe que
Como
segue que
Passo 3
Definimos a soma parcial
Ao expandir essa soma, observamos que a maioria dos termos
se cancelam de forma telescópica.
Passo 4
Após o cancelamento, restam apenas alguns termos de borda e obtemos
Para ver a convergência, avaliamos o limite quando
:
Passo 5
Portanto, como a série de termos positivos converge para um valor finito, concluímos que a série original converge e seu somatório é
.
Resposta
A série converge e o valor da soma é
.