Estudar a convergencia das séries de termos gerais

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série de termos gerais un = lnl(1 + tfrac2n(n+3)r). O conteúdo principal envolve testes de convergência de séries, em particular reconhecimento de série telescópica e comparação assintótica com séries p. Vamos precisar fatorar a expressão dentro do log para ver o telescópico e confirmar o comportamento quando ntoinfty.

Passo 2

Observe que
lnl(1 + 2n(n+3)r) = lnl(n(n+3)+2n(n+3)r)
Como
n(n+3)+2 = n^2 + 3n + 2 = (n+1)(n+2),
segue que
lnl(1 + 2n(n+3)r) = ln(n+1)(n+2)n(n+3) = ln(n+1) + ln(n+2) - ln(n) - ln(n+3)

Passo 3

Definimos a soma parcial
SN = sumn=1^N un = sumn=1^Nl[ln(n+1)+ln(n+2)-ln(n)-ln(n+3)r]
Ao expandir essa soma, observamos que a maioria dos termos ln se cancelam de forma telescópica.

Passo 4

Após o cancelamento, restam apenas alguns termos de borda e obtemos
SN = ln3(N+1)N+3
Para ver a convergência, avaliamos o limite quando Ntoinfty:
limNtoinftySN = limNtoinfty ln3(N+1)N+3 = ln 3

Passo 5

Portanto, como a série de termos positivos converge para um valor finito, concluímos que a série original converge e seu somatório é ln 3.

Resposta

A série converge e o valor da soma é ln 3.

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