Estudar a convergencia das séries de termos gerais
un=2^n-1+3^n6^n

Passo 1

A gente quer estudar a convergência da série sumn=1^infty un com un=tfrac2^n-1+3^n6^n. O conteúdo aqui é séries numéricas, especialmente séries geométricas e teste de convergência.

Passo 2

Perceba que dá para separar un em duas parcelas e somar duas séries distintas. Escrevemos:
sumn=1^infty un = sumn=1^infty 2^n-16^n + sumn=1^infty 3^n6^n

Passo 3

Agora simplificamos cada termo usando regras de potência. Para a primeira parcela: 2^n-1/6^n = tfrac12,(1/3)^n. Para a segunda: 3^n/6^n = (1/2)^n. Cada soma é uma série geométrica com razão |r|<1, então ambas convergem. Aplicando a fórmula sumn=1^infty a,r^n = tfraca,r1-r obtemos a primeira soma igual a 1/4 e a segunda igual a 1.

Passo 4

Como a série original é a soma de duas séries convergentes de termos positivos, concluímos que ela converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente e sumn=1^infty 2^n-1+3^n6^n=tfrac54.

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