Encontre o polinômio de Taylor de ordem 2 associado a função g no ponto ( 1,1 ) em que f: R^2 R dada por g(x, y)=e^2 x+3 y

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de ordem 2 de g: R^2to R, g(x,y)=e^2x+3y no ponto (1,1). Vamos precisar do valor de g ali, do gradiente e da matriz Hessiana no ponto, e depois aplicar a fórmula do polinômio de Taylor de segunda ordem.

Passo 2

Primeiro, calculamos o valor da função em (1,1). Como g(x,y)=e^2x+3y,
g(1,1)=e^2cdot1+3cdot1=e^5

Passo 3

Agora achamos o gradiente de g. Temos
nabla g(x,y)=l(partial gpartial x,partial gpartial yr)=(2e^2x+3y,;3e^2x+3y)
Logo, no ponto (1,1):
nabla g(1,1)=(2e^5,;3e^5)

Passo 4

Em seguida, calculamos a matriz Hessiana de g. As segundas derivadas são
$$g_{xx}=4e^{2x+3y},\quad g_{xy}=6e^{2x+3y},\quad g_{yy}=9e^{2x+3y}.
gxx=4e^2x+3y, gxy=6e^2x+3y, gyy=9e^2x+3y H_g(1,1)=e^5 Hg(1,1)=e^54&66&9.$$

Passo 5

A fórmula do polinômio de Taylor de ordem 2 em (a,b)=(1,1) é
$$T_2(x,y)=g(1,1)+\nabla g(1,1)\cdot T2(x,y)=g(1,1)+nabla g(1,1)cdotx-1y-1+12x-1&y-1Hg(1,1)x-1y-1 +\frac12 H_g(1,1) .
$$
Basta substituir os valores e simplificar os coeficientes para obter o polinômio de Taylor de ordem 2.

Passo 6

Substituindo e simplificando, chegamos a
T2(x,y)=e^5+2e^5(x-1)+3e^5(y-1)+2e^5(x-1)^2+6e^5(x-1)(y-1)+92e^5(y-1)^2

Resposta

T2(x,y)=e^5+2e^5(x-1)+3e^5(y-1)+2e^5(x-1)^2+6e^5(x-1)(y-1)+tfrac92e^5(y-1)^2

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