Encontre o polinômio de Taylor de ordem 2 associado a função
no ponto ( 1,1 ) em que
dada por
Passo 1
O enunciado pede o polinômio de Taylor de ordem 2 de
no ponto
. Vamos precisar do valor de
ali, do gradiente e da matriz Hessiana no ponto, e depois aplicar a fórmula do polinômio de Taylor de segunda ordem.
Passo 2
Primeiro, calculamos o valor da função em
. Como
,
Passo 3
Agora achamos o gradiente de
. Temos
Logo, no ponto
Passo 4
Em seguida, calculamos a matriz Hessiana de
. As segundas derivadas são
$$g_{xx}=4e^{2x+3y},\quad g_{xy}=6e^{2x+3y},\quad g_{yy}=9e^{2x+3y}.
Passo 5
A fórmula do polinômio de Taylor de ordem 2 em
é
$$T_2(x,y)=g(1,1)+\nabla g(1,1)\cdot
+\frac12
H_g(1,1)
.
$$
Basta substituir os valores e simplificar os coeficientes para obter o polinômio de Taylor de ordem 2.
Basta substituir os valores e simplificar os coeficientes para obter o polinômio de Taylor de ordem 2.
Passo 6
Substituindo e simplificando, chegamos a