Considere o limite z.
(a) A que valor tende o limite à medida que y=x se aproxima de 0 ao longo da reta z ?
(b) A que valor tende o limite à medida que y=-x se aproxima de 0 ao longo da reta z ?
© Suas respostas para (a) e (b) implicam que y=2 x existe? Explique por quê.
(d) A que valor tende o limite à medida que se aproxima de 0 ao longo da reta ?
(e) O que você pode dizer a respeito de ?

Passo 1

Estamos lidando com o limite de uma função complexa de duas variáveis:
Queremos avaliar
limzto0l(2y^2x^2-ix^2-y^2y^2r)
ao longo de diferentes retas no plano real; isso exige entender limites de funções de duas variáveis e como checar existência via trajetórias.

Passo 2

Ao aproximar por y=x substituímos y2=x2:
Cálculo da parte real:
2y^2x^2=2x^2x^2=2
Cálculo da parte imaginária (coeficiente de i):
-x^2-y^2y^2=-x^2-x^2x^2=0
Logo o valor ao longo de y=x é 2.

Passo 3

Agora pela reta y=−x temos y2=x2 de novo:
Parte real
2y^2x^2=2
Parte imaginária
-x^2-y^2y^2=-x^2-x^2x^2=0
Portanto o limite é 2.

Passo 4

Até aqui as duas trajetórias deram 2, mas para existência do limite em duas variáveis precisamos que o valor seja o mesmo em TODAS as direções; então testamos outra reta.

Passo 5

Pela reta y=2x:
Temos y2=4x2, então
Parte real
2y^2x^2=2cdot4x^2x^2=8
Parte imaginária
-x^2-y^2y^2=-x^2-4x^24x^2=34
Assim o valor é 8+\tfrac{3}{4}i.

Passo 6

Como obtivemos 2 (real) para y=±x e 8+3/4i para y=2x, o limite depende da trajetória. Em limites de duas variáveis (e complexos) isso significa que NÃO há limite único.

Resposta

O limite não existe, pois assume valores diferentes conforme a trajetória.

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