Considere o limite
.
(a) A que valor tende o limite à medida que
se aproxima de 0 ao longo da reta
?
(b) A que valor tende o limite à medida que
se aproxima de 0 ao longo da reta
?
© Suas respostas para (a) e (b) implicam que
existe? Explique por quê.
(d) A que valor tende o limite à medida que
se aproxima de 0 ao longo da reta
?
(e) O que você pode dizer a respeito de
?
(a) A que valor tende o limite à medida que
(b) A que valor tende o limite à medida que
© Suas respostas para (a) e (b) implicam que
(d) A que valor tende o limite à medida que
(e) O que você pode dizer a respeito de
Passo 1
Estamos lidando com o limite de uma função complexa de duas variáveis:
Queremos avaliar
ao longo de diferentes retas no plano real; isso exige entender limites de funções de duas variáveis e como checar existência via trajetórias.
Passo 2
Ao aproximar por y=x substituímos y2=x2:
Cálculo da parte real:
Cálculo da parte imaginária (coeficiente de i):
Logo o valor ao longo de y=x é 2.
Passo 3
Agora pela reta y=−x temos y2=x2 de novo:
Parte real
Parte imaginária
Portanto o limite é 2.
Passo 4
Até aqui as duas trajetórias deram 2, mas para existência do limite em duas variáveis precisamos que o valor seja o mesmo em TODAS as direções; então testamos outra reta.
Passo 5
Pela reta y=2x:
Temos y2=4x2, então
Parte real
Parte imaginária
Assim o valor é 8+\tfrac{3}{4}i.
Passo 6
Como obtivemos 2 (real) para y=±x e 8+3/4i para y=2x, o limite depende da trajetória. Em limites de duas variáveis (e complexos) isso significa que NÃO há limite único.
Resposta
O limite não existe, pois assume valores diferentes conforme a trajetória.