Determinar o raio de convergencia das séries de potencias seguintes:
sumn=1 ln (n!)n! x^n

Passo 1

A série é sumn=1^infty ln(n!)n!x^n. O conteúdo é raio de convergência de série de potências, e vamos precisar do teste da razão (ou do limite da razão dos coeficientes) para achar R.

Passo 2

Definindo o coeficiente geral an=tfracln(n!)n!, calculamos a razão:

Passo 3

an+1an= ln((n+1)!)/(n+1)!ln(n!)/n! =ln(n!)+ln(n+1)ln(n!)cdotn!(n+1)! =1+tfracln(n+1)ln(n!)n+1
Como ln(n!)sim nln n cresce muito mais rápido que ln(n+1), o quociente tfracln(n+1)ln(n!)to0. Logo
limntoinftyan+1an=0

Passo 4

Pelo teste da razão, se L=limntoinfty|an+1/an|, então o raio satisfaz R=1/L. Aqui temos L=0, o que faz R divergir.

Resposta

R=\infty

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