Considere o limite
.
(a) A que valor tende o limite à medida que
se aproxima de 0 ao longo eixo real?
(b) A que valor tende o limite à medida que
se aproxima de 0 ao longo do eixo imaginário?
© Suas respostas para (a) e (b) implicam que
existe? Justifique sua resposta.
(d) A que valor tende o limite à medida que
se aproxima de 0 ao longo da reta
?
(e) O que você pode dizer a respeito de
?
(a) A que valor tende o limite à medida que
(b) A que valor tende o limite à medida que
© Suas respostas para (a) e (b) implicam que
(d) A que valor tende o limite à medida que
(e) O que você pode dizer a respeito de
Passo 1
Nesse exercício vamos estudar o limite
. O conteúdo é existência de limite de função complexa e, para resolver, vamos parametrizar diferentes trajetórias de
até 0 e verificar se o valor do limite é o mesmo.
Passo 2
Ao longo do eixo real, tomamos
com
. Nesse caso
e portanto
. Logo,
, ou seja, o limite ao longo do eixo real vale 1.
Passo 3
Ao longo do eixo imaginário, escrevemos
com
. Aí
e
. Então
, de modo que o limite ao longo do eixo imaginário também é 1.
Passo 4
Os resultados idênticos nos itens (a) e (b) não garantem a existência do limite em geral, pois para funções de variável complexa o limite deve ser o mesmo para toda trajetória de aproximação.
Passo 5
Agora, ao longo da reta
, escrevemos
e
. Daí
e, em seguida,
.
Passo 6
Como obtivemos 1 em algumas trajetórias e
em outra, concluímos que o valor do limite depende do caminho, logo o limite não existe.
Resposta
O limite
não existe.