Considere o limite z.
(a) A que valor tende o limite à medida que z se aproxima de 0 ao longo eixo real?
(b) A que valor tende o limite à medida que z se aproxima de 0 ao longo do eixo imaginário?
© Suas respostas para (a) e (b) implicam que y=x existe? Justifique sua resposta.
(d) A que valor tende o limite à medida que se aproxima de 0 ao longo da reta ?
(e) O que você pode dizer a respeito de ?

Passo 1

Nesse exercício vamos estudar o limite limzto0l(zbar zr)^2. O conteúdo é existência de limite de função complexa e, para resolver, vamos parametrizar diferentes trajetórias de z até 0 e verificar se o valor do limite é o mesmo.

Passo 2

Ao longo do eixo real, tomamos z=xin R com xto0. Nesse caso bar z=x e portanto zbar z=xx=1. Logo, l(zbar zr)^2=1, ou seja, o limite ao longo do eixo real vale 1.

Passo 3

Ao longo do eixo imaginário, escrevemos z=iy com yto0. Aí bar z=-iy e zbar z=iy-iy=-1. Então l(zbar zr)^2=(-1)^2=1, de modo que o limite ao longo do eixo imaginário também é 1.

Passo 4

Os resultados idênticos nos itens (a) e (b) não garantem a existência do limite em geral, pois para funções de variável complexa o limite deve ser o mesmo para toda trajetória de aproximação.

Passo 5

Agora, ao longo da reta y=x, escrevemos z=x+ix=x(1+i) e bar z=x(1-i). Daí zbar z=1+i1-i=i e, em seguida, l(zbar zr)^2=i^2=-1.

Passo 6

Como obtivemos 1 em algumas trajetórias e -1 em outra, concluímos que o valor do limite depende do caminho, logo o limite não existe.

Resposta

O limite limzto0l(tfraczbar zr)^2 não existe.

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