Determinar o raio de convergencia das séries de potencias seguintes:
sumn=1(raizn)^n x^n

Passo 1

A série de potências é sumn=1^infty(raizn)^n x^n. O conteúdo aqui é convergência de séries de potências, e vamos usar o critério da raiz para encontrar o raio de convergência R.

Passo 2

O critério da raiz afirma que, para uma série sum anx^n, o raio de convergência é dado por R=1limsupntoinftyraiz[n]|an|

Passo 3

No nosso caso, o coeficiente geral é an=(raizn)^n=n^n/2. Assim, para o termo geral anx^n temos
raiz[n]l|anx^nr|=raiz[n]n^n/2|x|^n=n^1/2,|x|

Passo 4

Para que a série convirja pelo critério da raiz, precisamos de limntoinftyn^1/2|x|<1. Como limntoinftyn^1/2=infty, isso só é possível se |x|=0. Dessa forma concluímos que o raio de convergência é zero.

Resposta

R = 0

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