Determinar o raio de convergencia das séries de potencias seguintes:
sumn=1(ln (n!))^2 x^n

Passo 1

Estamos com a série de potências sumn=1^infty (ln(n!))^2 x^n. O que a gente quer é o raio de convergência R. Para isso, vamos usar testes clássicos de séries de potências (raiz ou razão) e uma estimativa de longo prazo para ln(n!).

Passo 2

Definimos an = (ln(n!))^2. Pelo teste da raiz, o raio satisfaça
1R = limsupntoinfty raiz[n]an = limntoinfty raiz[n](ln(n!))^2 = limntoinfty (ln(n!))^2/n

Passo 3

Para avaliar limntoinfty(ln(n!))^2/n, usamos a fórmula de Stirling na forma simplificada:
ln(n!) sim nln n - n (ntoinfty)
Isso implica que ln(n!)toinfty, mas cresce tipo nln n. Assim,
lnl(ln(n!)r) sim ln(nln n) = ln n + ln(ln n)
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(ln(n!))^2/n = e^2nln(ln(n!)) sim e^2n(ln n + lnln n) to e^0 = 1

Passo 4

Como limsupntoinftyraiz[n]an=1, o teste da raiz diz que a série converge se |x|<1. Portanto o raio de convergência é 1.

Resposta

1

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