Estudar a convergencia das séries de termos gerais

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série de termos gerais un=lnl(1+(-1)^n/nr). O assunto envolve séries (absoluta e condicional), teste da condição necessária e testes como comparação e expansão em série de Taylor para verificar convergência.

Passo 2

Primeiro, confira a condição necessária: uma série só pode convergir se unto0. Como para ntoinfty temos
lnl(1+(-1)^nnr)toln(1)=0,
o termo geral tende a zero, então a condição necessária está satisfeita.

Passo 3

Agora veja a convergência absoluta, analisando sum|un|. Note que para x pequeno vale ln(1+x)sim x. Então
limntoinfty|un|1/n =limntoinftynl|lnl(1+(-1)^n/nr)r| =1
Como sum1/n diverge, pelo teste de comparação limite sum|un| também diverge. Logo não há convergência absoluta.

Passo 4

Para a convergência condicional, use a expansão de Taylor em x=(-1)^n/n:
ln(1+x)=x-x^22+O(x^3)
Isso dá
un=lnl(1+(-1)^nnr)=(-1)^nn-12n^2+Ol(1n^3r)
Assim
sum un=sum(-1)^nn-12sum1n^2+sum Ol(1n^3r)
Aqui sum(-1)^n/n converge (série alternada de Leibniz), sum1/n^2 e sum1/n^3 convergem (p-séries com p>1). Logo sum un converge.

Passo 5

Como a série não converge absolutamente mas converge por decomposição em parte alternada e parte absolutamente convergente, concluímos que a série sumn=1^inftyln(1+(-1)^n/n) é condicionalmente convergente.

Resposta

A série sumn=1^inftylnl(1+(-1)^n/nr) converge condicionalmente.

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