Estudar a convergencia das séries de termos gerais
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série de termos gerais . O assunto envolve séries (absoluta e condicional), teste da condição necessária e testes como comparação e expansão em série de Taylor para verificar convergência.
Passo 2
Primeiro, confira a condição necessária: uma série só pode convergir se . Como para temos
o termo geral tende a zero, então a condição necessária está satisfeita.
Passo 3
Agora veja a convergência absoluta, analisando . Note que para pequeno vale . Então
Como sum1/n diverge, pelo teste de comparação limite sum|un| também diverge. Logo não há convergência absoluta.
Passo 4
Para a convergência condicional, use a expansão de Taylor em x=(-1)^n/n:
ln(1+x)=x-x^22+O(x^3)
Isso dá
un=lnl(1+(-1)^nnr)=(-1)^nn-12n^2+Ol(1n^3r)
Assim
sum un=sum(-1)^nn-12sum1n^2+sum Ol(1n^3r)
Aqui sum(-1)^n/n converge (série alternada de Leibniz), sum1/n^2 e sum1/n^3 convergem (p-séries com p>1). Logo sum un converge.
Passo 5
Como a série não converge absolutamente mas converge por decomposição em parte alternada e parte absolutamente convergente, concluímos que a série sumn=1^inftyln(1+(-1)^n/n) é condicionalmente convergente.
Resposta
A série sumn=1^inftylnl(1+(-1)^n/nr) converge condicionalmente.