Sobre a reta tangente ao gráfico da função y=f(x) definida implicitamente por \operatorname{tg}(y)+e^{x y}=x no ponto (1,0), podemos afirmar que:
a) É paralela ao eixo x.
b) Tem inclinação positiva e intercepta o eixo x em um ponto de abscissa positiva.
c) Tem inclinação negativa e intercepta o eixo x em um ponto de abscissa positiva.
d) Tem inclinação positiva e intercepta o eixo x em um ponto de abscissa negativa.
e) Tem inclinação negativa e intercepta o eixo x em um ponto de abscissa negativa.

Passo 1

O enunciado dá a função y=f(x) definida implicitamente pela relação
\tan(y) + e^{x y} = x
e pede informações sobre a reta tangente ao gráfico no ponto (1,0): sua inclinação e onde ela intercepta o eixo x. Para isso, vamos derivar implicitamente para obter y'=\tfrac{dy}{dx} e em seguida achar a equação da reta tangente.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados de
\tan(y) + e^{x y} = x
em relação a x, aplicamos a regra da cadeia em \tan(y) e a regra do produto no expoente x y:
\operatorname{sec}^2(y)\,y' + e^{x y}\,\frac{d}{dx}(x y) = 1 \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{sec}^2(y)\,y' + e^{x y}\,(y + x\,y') = 1.

Passo 3

No ponto (1,0) temos x=1, y=0, \operatorname{sec}^2(0)=1 e e^{0}=1. Substituindo na equação da derivada:
1\cdot y' + 1\cdot\bigl(0 + 1\cdot y'\bigr) = 1 \quad\Longrightarrow\quad 2\,y' = 1 \quad\Longrightarrow\quad y' = \tfrac12.
Logo, a inclinação da reta tangente é positiva.

Passo 4

A equação da reta tangente que passa por (1,0) e tem inclinação \tfrac12 é
y - 0 = \tfrac12\,(x - 1) \quad\Longrightarrow\quad y = \tfrac12(x - 1).
Para achar onde ela intercepta o eixo x, colocamos y=0:
0 = \tfrac12(x - 1) \quad\Longrightarrow\quad x = 1,
que é uma abscissa positiva.

Resposta

b) Tem inclinação positiva e intercepta o eixo x em um ponto de abscissa positiva.

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