Considere os limites a seguir:
I. \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{x^{3}-4 x^{2}}{2 x^{5}+3}
II. \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{3 x}
III. \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen} x+x^{3}}{x^{2}-x}
IV. \lim _{x \rightarrow-2} \frac{2|x|-4}{x^{2}-5}
Quantos deles valem zero?
a) 4
b) 3
c) 2
d) 1
e) 0

Passo 1

O enunciado pede para calcular quatro limites e contar quantos deles são iguais a zero. O conteúdo usado inclui análise de grau de polinômios para limites no infinito, o limite clássico \lim_{x\to\infty}(1+1/x)^x=e, expansão em série de Taylor para \operatorname{sen} x perto de zero e a continuidade de funções envolvendo valor absoluto.

Passo 2

Analisando
\lim_{x\to -\infty}\frac{x^3-4x^2}{2x^5+3},
nota-se que o termo de maior grau no numerador é x^3 e no denominador é 2x^5. Então
\frac{x^3-4x^2}{2x^5+3} \sim\frac{x^3}{2x^5} =\frac1{2x^2},
e ao levar x\to-\infty temos
\lim_{x\to -\infty}\frac1{2x^2}=0.

Passo 3

Analisando
\lim_{x\to+\infty}\Bigl(1+\frac1x\Bigr)^{3x},
usamos o fato conhecido
\lim_{x\to\infty}\Bigl(1+\frac1x\Bigr)^x = e.
Logo
\Bigl(1+\frac1x\Bigr)^{3x} =\Bigl[\Bigl(1+\frac1x\Bigr)^x\Bigr]^3 \longrightarrow e^3\neq0.

Passo 4

Analisando
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen} x + x^3}{x^2 - x},
fazemos a expansão \operatorname{sen} x = x - x^3/6 + O(x^5). Então o numerador fica
\operatorname{sen} x + x^3 = x - \frac{x^3}{6} + x^3 + O(x^5) = x + \frac{5}{6}x^3 + O(x^5),
e o denominador é
x^2 - x = -x + x^2.
Dividindo e cancelando o fator x, vem
\frac{x(1 + \tfrac{5}{6}x^2 + O(x^4))}{-x(1 - x)} \longrightarrow \frac{1}{-1} = -1\neq0.

Passo 5

Analisando
\lim_{x\to -2}\frac{2|x| - 4}{x^2 - 5},
perto de x=-2 temos |x|=-x, logo numerador contínuo vale
2|x|-4 = 2\cdot2 -4 =0
em x=-2. O denominador em x=-2 é
(-2)^2 -5 =4-5=-1\neq0.
Assim o limite é
\frac{0}{-1} = 0.

Passo 6

Somando: apenas os limites I e IV valem zero. Logo o total é 2.

Resposta

c) 2

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