Um reservatório de água cilíndrico, cujo raio da base é r e a altura é h=3 r, está sendo abastecido. Sabendo que o volume desse recipiente é dado por
V=\frac{\pi h^{3}}{9}
e que a taxa de variação da altura h em função do tempo é 12 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, determine a taxa de variação do volume em função do tempo, quando r=2 \mathrm{~m}.
a) 12 \pi \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}
b) 144 \pi \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}
c) 24 \pi \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}
d) 14 \pi \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}
e) 36 \pi \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}

Passo 1

O enunciado descreve um reservatório cilíndrico de raio r e altura h=3r, cujo volume está dado por
V = \frac{\pi h^3}{9}.
Sabemos que a altura cresce à razão \tfrac{dh}{dt}=12 m/s. O conteúdo é aplicar derivada de funções compostas (regra da cadeia) para encontrar \tfrac{dV}{dt}.

Passo 2

Usando h=3r, quando r=2 m temos
h = 3\cdot 2 = 6\text{ m}.

Passo 3

Diferenciando V=\tfrac{\pi h^3}{9} em relação a t pela regra da cadeia:
\frac{dV}{dt} = \frac{\pi}{9}\,\frac{d}{dt}\bigl(h^3\bigr) = \frac{\pi}{9}\cdot 3h^2\frac{dh}{dt} = \frac{\pi}{3}\,h^2\frac{dh}{dt}.

Passo 4

Substituindo h=6 m e \tfrac{dh}{dt}=12 m/s:
\frac{dV}{dt} = \frac{\pi}{3}\cdot 6^2 \cdot 12 = \frac{\pi}{3}\cdot 36 \cdot 12 = 144\pi\\ \text{m}^3\!/\,\text{s}.

Resposta

b) 144\pi\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}

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