Usando integração obtenha uma solução para a equação
u_xy = cos(x) * e^(3*x + 2*y) + x*y^2 + 2 em R^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente resolver uma equação diferencial parcial usando integração. A equação dada é:
Aqui, estamos trabalhando com derivadas parciais de segunda ordem, ou seja, como a função muda em relação a e . Para resolver isso, vamos precisar integrar a equação em relação a e depois em relação a , passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a equação em relação a . Quando fazemos isso, a derivada parcial se torna a derivada de em relação a :
Vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 3

Integrando o primeiro termo , percebemos que pode ser tratado como uma constante em relação a :
Para resolver , usamos a técnica de integração por partes ou reconhecemos que a integral de é:
Aqui, e , então:
Portanto:

Passo 4

Agora, vamos integrar o segundo termo em relação a :
E o terceiro termo :

Passo 5

Juntando tudo, temos que:
Aqui, é uma função arbitrária de que aparece porque estamos integrando em relação a .

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a para encontrar :
Vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 7

Integrando o primeiro termo:
Integrando o segundo termo :
Integrando o terceiro termo :
E integrando em relação a :
Onde é outra função arbitrária.

Passo 8

Juntando tudo, a solução geral para é:
Como estamos lidando com uma equação diferencial parcial de segunda ordem, geralmente assumimos que é uma constante .

Resposta

A solução geral da equação é
onde é uma constante arbitrária.

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