Usando integração obtenha uma solução para a equação
em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente resolver uma equação diferencial parcial usando integração. A equação dada é:
Aqui, estamos trabalhando com derivadas parciais de segunda ordem, ou seja, como a função
muda em relação a
e
. Para resolver isso, vamos precisar integrar a equação em relação a
e depois em relação a
, passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar a equação em relação a
. Quando fazemos isso, a derivada parcial
se torna a derivada de
em relação a
:
Vamos integrar cada termo separadamente.
Passo 3
Integrando o primeiro termo
, percebemos que
pode ser tratado como uma constante em relação a
:
Para resolver
, usamos a técnica de integração por partes ou reconhecemos que a integral de
é:
Aqui,
e
, então:
Portanto:
Passo 4
Agora, vamos integrar o segundo termo
em relação a
:
E o terceiro termo
:
Passo 5
Juntando tudo, temos que:
Aqui,
é uma função arbitrária de
que aparece porque estamos integrando em relação a
.
Passo 6
Agora, vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Vamos integrar cada termo separadamente.
Passo 7
Integrando o primeiro termo:
Integrando o segundo termo
:
Integrando o terceiro termo
:
E integrando
em relação a
:
Onde
é outra função arbitrária.
Passo 8
Juntando tudo, a solução geral para
é:
Como estamos lidando com uma equação diferencial parcial de segunda ordem, geralmente assumimos que
é uma constante
.
Resposta
A solução geral da equação é
onde
é uma constante arbitrária.