Considere A=[lllalpha & 1 & 0 beta & 2 & 1 0 & 1 & 2]. Determine todos os valores de alpha e beta de forma que A possa ser decomposta como um produto A=L U sem a necessidade de realizar pivoteamento parcial.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: a gente tem a matriz
A= alpha & 1 & 0 beta & 2 & 1 0 & 1 & 2
e quer achar todos os (alpha,beta) tais que dá pra escrever A=L,U sem precisar trocar linhas (pivotamento). Isso é conteúdo de fatoração LU via eliminação de Gauss: o que precisamos checar é que, em cada passo de eliminação, o pivô (o elemento da diagonal de U) não seja zero.

Passo 2

Primeiro pivô: u11=alpha.
– Na eliminação de Gauss, dividimos a 1ª coluna pra zerar abaixo: o fator é
ell21=betaalpha, ell31=0alpha=0
Se alpha=0 não dá pra dividir, logo precisamos de
alphaneq0

Passo 3

Depois de usar ell21 pra zerar a21, a nova entrada (2,2) de U é
u22 =2-ell21cdot1 =2-betaalpha
Esse será o segundo pivô. Pra não precisar trocar linha, a gente exige
u22neq0 ;Longrightarrow; 2-betaalphaneq0 ;Longrightarrow; 2alpha-betaneq0

Passo 4

Agora, na 3ª coluna, antes de zerar abaixo do pivô u22, nota que a linha 3 já tem 0 na 1ª coluna, então só precisamos zerar o (3,2). O fator é
ell32=1u22=1,2-beta/alpha,
E o último pivô vira
u33 =2-ell32cdot1 =2-1,2-beta/alpha,
Se u33=0, aí a decomposição estoura. Simplificando essa condição:
2-1,2-beta/alpha,neq0 Long<=ftrightarrow 3alpha-2betaneq0,
que é justamente det(A)neq0.

Resposta

Para existir LU sem pivotar, precisamos de
alphaneq0, 2alpha-betaneq0, 3alpha-2betaneq0
Ou seja, todos os pares (alpha,beta)inR^2 que satisfazem essas três desigualdades.

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