Considere . Determine todos os valores de alpha e beta de forma que A possa ser decomposta como um produto A=L U sem a necessidade de realizar pivoteamento parcial.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz: a gente tem a matriz
A= alpha & 1 & 0 beta & 2 & 1 0 & 1 & 2
e quer achar todos os (alpha,beta) tais que dá pra escrever A=L,U sem precisar trocar linhas (pivotamento). Isso é conteúdo de fatoração LU via eliminação de Gauss: o que precisamos checar é que, em cada passo de eliminação, o pivô (o elemento da diagonal de U) não seja zero.
Passo 2
Primeiro pivô: u11=alpha.
– Na eliminação de Gauss, dividimos a 1ª coluna pra zerar abaixo: o fator é
ell21=betaalpha, ell31=0alpha=0
Se alpha=0 não dá pra dividir, logo precisamos de alphaneq0
Passo 3
Depois de usar ell21 pra zerar a21, a nova entrada (2,2) de U é
u22 =2-ell21cdot1 =2-betaalpha
Esse será o segundo pivô. Pra não precisar trocar linha, a gente exige