Seja uma matriz quadrada que admite uma decomposição LU. Explique como utilizar esta decomposição para resolver o seguinte sistema linear com estrutura de bloco:
onde D é uma matriz diagonal com todos os elementos não nulos. Cada bloco neste sistema é de tamanho n times n, os vetores incógnitas u, v e w e os termos independentes b, c e d são todos de tamanho n times 1.
Passo 1
Beleza, a questão diz que temos um sistema linear “grande” em blocos 3×3 envolvendo as matrizes A, Aᵀ, I e D, e vetores u, v, w. A ideia é usar a decomposição LU de A (ou seja, A = L·U, onde L e U são triangulares) para resolver cada parte do sistema. O conteúdo aqui é Álgebra Linear, mais especificamente resolução de sistemas via decomposição LU e eliminação em blocos.
O que vamos precisar:
Saber que A é invertível e tem LU.
Entender como usar o solve triangular (forward e backward substitution).
Fazer eliminação de blocos (ou simplesmente isolar u, v, w pelas três equações que esse sistema implica).
Passo 2
Primeiro vamos escrever o sistema bloco a bloco. Ele equivale a:
(1) 0·u + Aᵀ·v + I·w = b ⟹ Aᵀv + w = b
(2) A·u + 0·v + 0·w = c ⟹ A u = c
(3) I·u + 0·v + D·w = d ⟹ u + D w = d
Nós temos três equações simples agora. Como A e D são invertíveis, conseguimos isolar passo a passo.
Passo 3
Resolver (2) para u:
A u = c
Usando a decomposição LU de A, fazemos:
L y = c (forward substitution)
U u = y (backward substitution)
No fim, achamos
u = A^-1c
Passo 4
Com u em mãos, vamos para (3) e isolamos w:
u + D w = d
⟹ D w = d - u
⟹ w = D^{-1}(d - u).
Como D é diagonal, basta dividir cada componente de (d - u) pelo correspondente de D.
Passo 5
Finalmente usamos (1) para achar v:
Aᵀ v + w = b
⟹ Aᵀ v = b - w
⟹ v = (Aᵀ)^{-1}(b - w).
Mas ᵀᵀ. Então, de novo com LU de A:
ᵀ (forward, pois Uᵀ é triangular inferior)
ᵀ (backward)
Resposta
u = A^{-1}c,
w = D^{-1}(d - u),
v = (Aᵀ)^{-1}(b - w),
onde cada “inversão” de Aᵀ ou A foi feita por duas substituições triangulares usando a LU de A.