Considere um sistema linear A x=b com infinitas soluções onde A possui tamanho m times n com m. O Problema da Norma 2 2 Minima consiste em encontrar x que satisfaz A x=b. e possui a menor norma 2 possível. Esta situação pode ser formulada como um problema de otimização da forma
minimizar |x|2^2 restrito a A x=b
A solução ótima desse problema é dada por x^*=A^T(A A^T)^-1 b. Considerando
A=(rrr 1 & -1 & 2 1 & 1 & -1 ) e b=binom10
interprete este problema geometricamente, ou seja, descreva o conjunto solução do sistema A x=b. O que representa a solução de norma 2 mínima neste caso?

Passo 1

Beleza! O que a gente tem aqui é um sistema linear
A x = b
com infinitas soluções (porque x^* ;=; A^T,(A,A^T)^-1,b é , então temos duas equações e três incógnitas). O enunciado manda ver que a gente formule
sujeito a
e diz que a solução ótima é

Aqui o conteúdo é:
- Resolver sistemas subdeterminados (menos equações do que incógnitas).
- Encontrar a forma geral da solução (uma reta em ).
- Calcular a solução de norma mínima usando a fórmula da pseudoinversa (projeção ortogonal).
- Interpretar tudo isso geometricamente (interseção de dois planos = reta; a solução de menor norma é a projeção do zero nessa reta).

Passo 2

Primeiro, vamos achar a descrição geral da reta que é a interseção dos dois planos
x1 - x2 + 2x3 = 1, x1 + x2 - x3 = 0
  1. Tome x(t) = l(tfrac1-t2,,tfrac3t-12,,tr) = underbracel(tfrac12,,-tfrac12,,0r)p ;+; t;underbracel(-tfrac12,;tfrac32,;1r)v como parâmetro.
  2. Das equações:
    • ,
    • .
  3. Somando e subtraindo:
    • Somando: , logo
    • Da segunda:
      Então a solução geral é
Isso mostra que o conjunto solução é uma reta em , passando por na direção .

Passo 3

Agora vamos à fórmula da solução de norma mínima
x^* ;=; A^T,(A,A^T)^-1,b
  1. Calcule A = 1&-1&2[3pt]1&1&-1, . Com
A A^T =6 & -2 -2 & 3,
temos
(A A^T)^-1 =16cdot3 - (-2)^2 3 & 22 & 6 =1143 & 22 & 6
e seu inverso é
(A A^T)^-1 b =1143&22&6 10 =11432
  1. Multiplique em seguida por x^* = A^T!l(tfrac114(3,2)^Tr) =1141&1-1&12&-1 32 =1145-14 =l(tfrac514,,-tfrac114,,tfrac27r) :
  1. Por fim,

Passo 4

Geometricamente:
  • O sistema é a interseção de dois planos em , que resulta numa reta.
  • Dentre todos os pontos dessa reta, o que tem menor norma 2 (menor distância até a origem) é justamente a projeção ortogonal da origem nessa reta.
  • E é exatamente .

Resposta

O conjunto solução de l,l(tfrac12,-tfrac12,0r) + t,l(-tfrac12,tfrac32,1r);;;tinRr é a reta
x^*=l(tfrac514,,-tfrac114,,tfrac27r),
A solução de norma-2 mínima é
que geometricamente é a projeção do ponto zero nessa reta.

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