Considere um sistema linear com infinitas soluções onde possui tamanho com . O Problema da Minima consiste em encontrar x que satisfaz A x=b. e possui a menor norma 2 possível. Esta situação pode ser formulada como um problema de otimização da forma
minimizar |x|2^2 restrito a A x=b
A solução ótima desse problema é dada por x^*=A^T(A A^T)^-1 b. Considerando
A=(rrr 1 & -1 & 2 1 & 1 & -1 ) e b=binom10
interprete este problema geometricamente, ou seja, descreva o conjunto solução do sistema A x=b. O que representa a solução de norma 2 mínima neste caso?
Passo 1
Beleza! O que a gente tem aqui é um sistema linear
A x = b
com infinitas soluções (porque x^* ;=; A^T,(A,A^T)^-1,b é , então temos duas equações e três incógnitas). O enunciado manda ver que a gente formule sujeito a
e diz que a solução ótima é
Aqui o conteúdo é:
- Resolver sistemas subdeterminados (menos equações do que incógnitas).
- Encontrar a forma geral da solução (uma reta em ).
- Calcular a solução de norma mínima usando a fórmula da pseudoinversa (projeção ortogonal).
- Interpretar tudo isso geometricamente (interseção de dois planos = reta; a solução de menor norma é a projeção do zero nessa reta).
Passo 2
Primeiro, vamos achar a descrição geral da reta que é a interseção dos dois planos
x1 - x2 + 2x3 = 1, x1 + x2 - x3 = 0
Tome x(t) = l(tfrac1-t2,,tfrac3t-12,,tr) = underbracel(tfrac12,,-tfrac12,,0r)p ;+; t;underbracel(-tfrac12,;tfrac32,;1r)v como parâmetro.
Das equações:
,
.
Somando e subtraindo:
Somando: , logo
Da segunda:
Então a solução geral é
Isso mostra que o conjunto solução é uma reta em , passando por na direção .