Considere que a localização (distância até uma das extremidades) do ponto de ruptura X de um cabo de 10 metros tenha f.d.p dada por
f(x)= c x, & se 0= 10
Determine
(a) o valor da constante c para que f seja uma f.d.p válida;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar o valor da constante $ c $ de uma função de densidade de probabilidade (f.d.p) definida por $ f(x) = c x $ no intervalo de 0 a 10 metros. O conteúdo aqui é sobre probabilidade contínua e PDFs. Para resolver, precisamos lembrar que a soma (ou, no caso contínuo, a integral) das probabilidades deve ser igual a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para $ f(x) $ ser uma f.d.p válida, a integral de $ f(x) $ em todo o seu domínio deve ser igual a 1. No nosso caso, isso significa que a integral de $ c x $ de 0 a 10 deve ser 1.

Passo 3

Então, configuramos a equação:
integral0^10 c x , dx = 1
Agora, vamos calcular essa integral.

Passo 4

Integrando $ c x $ em relação a $ x $, temos:
c x
Onde $ C $ é a constante de integração. Mas como estamos calculando uma área definida, podemos ignorar $ C $.

Passo 5

Aplicando os limites de 0 a 10:
c cdot 10^22 - c cdot 0^22 = 1
Simplificando:
c cdot 1002 = 1 Rightarrow 50c = 1

Passo 6

Agora, resolvemos para $ c $:
c

Resposta

O valor da constante $ c $ é $ \frac{1}{50} $.

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