Considere que a localização (distância até uma das extremidades) do ponto de ruptura
de um cabo de 10 metros tenha f.d.p dada por
Determine
(a) o valor da constante c para que
seja uma f.d.p válida;
(a) o valor da constante c para que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar o valor da constante $ c $ de uma função de densidade de probabilidade (f.d.p) definida por $ f(x) = c x $ no intervalo de 0 a 10 metros. O conteúdo aqui é sobre probabilidade contínua e PDFs. Para resolver, precisamos lembrar que a soma (ou, no caso contínuo, a integral) das probabilidades deve ser igual a 1.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para $ f(x) $ ser uma f.d.p válida, a integral de $ f(x) $ em todo o seu domínio deve ser igual a 1. No nosso caso, isso significa que a integral de $ c x $ de 0 a 10 deve ser 1.
Passo 3
Então, configuramos a equação:
Agora, vamos calcular essa integral.
Passo 4
Integrando $ c x $ em relação a $ x $, temos:
Onde $ C $ é a constante de integração. Mas como estamos calculando uma área definida, podemos ignorar $ C $.
Passo 5
Aplicando os limites de 0 a 10:
Simplificando:
Passo 6
Agora, resolvemos para $ c $:
Resposta
O valor da constante $ c $ é $ \frac{1}{50} $.