A função de probabilidade de uma variável aleatória discreta
é dada por
(b) Determine o valor médio de
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o valor médio de $ X^2 $ para uma variável aleatória discreta $ X $ com uma função de probabilidade específica. O conteúdo aqui é Probabilidade Discreta, mais precisamente a distribuição Binomial. Para resolver isso, vamos precisar calcular a esperança matemática de $ X^2 $, ou seja, $ E[X^2] $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a esperança matemática de $ X^2 $ é calculada somando-se todos os valores possíveis de $ X^2 $ multiplicados pela probabilidade de cada valor. Matematicamente, isso fica assim:
Onde $ p(k) $ é a função de probabilidade dada:
Passo 3
Agora, vamos calcular cada termo da soma individualmente. Para cada valor de $ k $ de 0 a 3, vamos calcular $ k^2 \cdot p(k) $:
-
Para $ k = 0 $:Assim, $ 0^2 \cdot p(0) = 0 \cdot \frac{27}{64} = 0 $
-
Para $ k = 1 $:Assim, $ 1^2 \cdot p(1) = 1 \cdot \frac{27}{64} = \frac{27}{64} $
-
Para $ k = 2 $:Assim, $ 2^2 \cdot p(2) = 4 \cdot \frac{9}{64} = \frac{36}{64} $
-
Para $ k = 3 $:Assim, $ 3^2 \cdot p(3) = 9 \cdot \frac{1}{64} = \frac{9}{64} $
Passo 4
Agora, vamos somar todos os termos que calculamos:
Simplificando a fração:
Resposta
O valor médio de $ X^{2} $ é $ \frac{9}{8} $, ou seja, 1,125.