A função de probabilidade de uma variável aleatória discreta X é dada por
p(k)=binom3k(14)^k(34)^3-k, k=0,1,2,3
(b) Determine o valor médio de X^2;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o valor médio de $ X^2 $ para uma variável aleatória discreta $ X $ com uma função de probabilidade específica. O conteúdo aqui é Probabilidade Discreta, mais precisamente a distribuição Binomial. Para resolver isso, vamos precisar calcular a esperança matemática de $ X^2 $, ou seja, $ E[X^2] $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a esperança matemática de $ X^2 $ é calculada somando-se todos os valores possíveis de $ X^2 $ multiplicados pela probabilidade de cada valor. Matematicamente, isso fica assim:
X^2
Onde $ p(k) $ é a função de probabilidade dada:
X^2

Passo 3

Agora, vamos calcular cada termo da soma individualmente. Para cada valor de $ k $ de 0 a 3, vamos calcular $ k^2 \cdot p(k) $:
  • Para $ k = 0 $:
    k
    Assim, $ 0^2 \cdot p(0) = 0 \cdot \frac{27}{64} = 0 $
  • Para $ k = 1 $:
    k^2 cdot p(k)
    Assim, $ 1^2 \cdot p(1) = 1 \cdot \frac{27}{64} = \frac{27}{64} $
  • Para $ k = 2 $:
    k = 0
    Assim, $ 2^2 \cdot p(2) = 4 \cdot \frac{9}{64} = \frac{36}{64} $
  • Para $ k = 3 $:
    p(0) = binom30 (14)^0 (34)^3 = 1 cdot 1 cdot 2764 = 2764
    Assim, $ 3^2 \cdot p(3) = 9 \cdot \frac{1}{64} = \frac{9}{64} $

Passo 4

Agora, vamos somar todos os termos que calculamos:
E[X^2] = 0 + 2764 + 3664 + 964 = 7264
Simplificando a fração:
7264 = 98 = 1,125

Resposta

O valor médio de $ X^{2} $ é $ \frac{9}{8} $, ou seja, 1,125.

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