Num teste educacional em crianças, o tempo para a realização de uma bateria de questões de raciocínio verbal e lógico é medido e registrado para ser comparado com um modelo teórico. Este teste é utilizado para identificar o desenvolvimento das crianças e auxiliar a aplicação de medidas corretivas. O modelo teórico considera
, o tempo de teste em minutos, como uma variável aleatória contínua com função de densidade de probabilidade dada por
(a) Qual a probabilidade de um teste que siga este modelo teórico dure entre 9 e 12 minutos?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de probabilidade aqui, focado em funções de densidade. O enunciado fala sobre o tempo que crianças levam para fazer um teste, e esse tempo segue um modelo teórico com uma função de densidade de probabilidade $ f(t) $. Nosso objetivo é descobrir qual a probabilidade desse tempo estar entre 9 e 12 minutos. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função $ f(t) $ se comporta nesse intervalo e calcular a área sob a curva dessa função entre esses tempos.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a função de densidade $ f(t) $ que está definida por partes:
Nos interessa o intervalo de 9 a 12 minutos. Observamos que esse intervalo está dividido em duas partes na função $ f(t) $:
- De 9 a 10 minutos, $ f(t) = \frac{1}{40}(t-4) $
- De 10 a 12 minutos, $ f(t) = \frac{3}{20} $
Então, vamos calcular a probabilidade em cada uma dessas partes e depois somar os resultados.
Passo 3
Vamos calcular a integral de $ f(t) $ de 9 a 10 e de 10 a 12.
Primeira parte: 9 a 10 minutos
Integrando:
Aplicando os limites de 9 a 10:
Segunda parte: 10 a 12 minutos
Resposta
Somando as probabilidades das duas partes:
Então, a probabilidade de um teste durar entre 9 e 12 minutos é de 57,5%.