Num teste educacional em crianças, o tempo para a realização de uma bateria de questões de raciocínio verbal e lógico é medido e registrado para ser comparado com um modelo teórico. Este teste é utilizado para identificar o desenvolvimento das crianças e auxiliar a aplicação de medidas corretivas. O modelo teórico considera T, o tempo de teste em minutos, como uma variável aleatória contínua com função de densidade de probabilidade dada por
f(t)= 140(t-4), & se 8 <= t<10 320, & se 10 <= t <= 15, 0, & se t<8 ou t>15
(a) Qual a probabilidade de um teste que siga este modelo teórico dure entre 9 e 12 minutos?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de probabilidade aqui, focado em funções de densidade. O enunciado fala sobre o tempo que crianças levam para fazer um teste, e esse tempo segue um modelo teórico com uma função de densidade de probabilidade $ f(t) $. Nosso objetivo é descobrir qual a probabilidade desse tempo estar entre 9 e 12 minutos. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função $ f(t) $ se comporta nesse intervalo e calcular a área sob a curva dessa função entre esses tempos.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função de densidade $ f(t) $ que está definida por partes:
f(t)
Nos interessa o intervalo de 9 a 12 minutos. Observamos que esse intervalo está dividido em duas partes na função $ f(t) $:
  1. De 9 a 10 minutos, $ f(t) = \frac{1}{40}(t-4) $
  2. De 10 a 12 minutos, $ f(t) = \frac{3}{20} $
Então, vamos calcular a probabilidade em cada uma dessas partes e depois somar os resultados.

Passo 3

Vamos calcular a integral de $ f(t) $ de 9 a 10 e de 10 a 12.
Primeira parte: 9 a 10 minutos
f(t)
Integrando:
P(9 <= T < 10) = integral9^10 140(t - 4) , dt
Aplicando os limites de 9 a 10:
integral 140(t - 4) , dt = 140 ( t^22 - 4t ) + C
Segunda parte: 10 a 12 minutos
140 ( 10^22 - 4 times 10 ) - 140 ( 9^22 - 4 times 9 ) = 140 (50 - 40 ) - 140 (40.5 - 36 ) = 1040 - 4.540 = 5.520 = 0.275

Resposta

Somando as probabilidades das duas partes:
P(9 <= T <= 12) = 0.275 + 0.3 = 0.575
Então, a probabilidade de um teste durar entre 9 e 12 minutos é de 57,5%.

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