Suponha que um mecanismo eletrônico tenha um tempo de vida T (em 1.000 horas) com função densidade de probabilidade
f(t)=e^-t, t>0
(a) Calcule PT>0,9;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem um mecanismo eletrônico cujo tempo de vida $ T $ (em mil horas) segue uma distribuição de probabilidade com a função densidade $ f(t) = e^{-t} $ para $ t > 0 $. O conteúdo que vamos precisar aqui é de estatística, mais especificamente sobre distribuições de probabilidade contínuas, e vamos usar um pouquinho de cálculo para resolver. Nosso objetivo é calcular a probabilidade de que o tempo de vida do mecanismo seja maior que 0,9 mil horas, ou seja, $ P{T > 0,9} $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a função densidade $ f(t) = e^{-t} $. Essa é a função densidade da distribuição exponencial com parâmetro $ \lambda = 1 $. A distribuição exponencial é usada para modelar o tempo entre eventos em um processo de Poisson, e é muito útil para representar tempos de vida de componentes eletrônicos, como no nosso caso.

Passo 3

Para calcular $ P{T > 0,9} $, precisamos achar a probabilidade de que o tempo de vida $ T $ seja maior que 0,9. Em termos de função densidade, isso significa calcular a integral da função $ f(t) $ de 0,9 até o infinito:
PT > 0,9

Passo 4

Vamos resolver essa integral. A integral de $ e^{-t} $ em relação a $ t $ é $ -e^{-t} $. Aplicando os limites de integração:
e^-t
Quando $ t $ tende ao infinito, $ e^{-t} $ tende a 0. Então:
t

Passo 5

Agora, vamos calcular o valor numérico de $ e^{-0,9} $. Usando uma calculadora ou tabela de valores, temos:
e^-0,9

Resposta

A probabilidade de que o tempo de vida do mecanismo seja maior que 0,9 mil horas é aproximadamente $ 0,40657 $.

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