Considere que a localização (distância até uma das extremidades) do ponto de ruptura
de um cabo de 10 metros tenha f.d.p dada por
Determine
© a probabilidade de que a razão entre a maior e a menor distância do ponto ruptura até uma das extremidades seja maior do que 2 ;
© a probabilidade de que a razão entre a maior e a menor distância do ponto ruptura até uma das extremidades seja maior do que 2 ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um cabo de 10 metros e um ponto de ruptura nele. A distância desse ponto até uma das extremidades é representada por $ X $ e tem uma função de densidade de probabilidade (f.d.p) dada por:
O conteúdo aqui envolve probabilidade contínua e funções de densidade. Vamos precisar entender como normalizar a f.d.p para encontrar a constante $ c $ e depois calcular a probabilidade pedida.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o valor de $ c $ para que $ f(x) $ seja uma função de densidade válida. Isso significa que a integral de $ f(x) $ de 0 a 10 deve ser igual a 1:
Vamos resolver essa integral:
Então, temos:
Passo 3
Agora que sabemos que $ c = \frac{1}{50} $, podemos reescrever a f.d.p:
Passo 4
Precisamos encontrar a probabilidade de que a razão entre a maior e a menor distância do ponto de ruptura até uma das extremidades seja maior que 2. Vamos chamar essa razão de $ R $:
Vamos considerar as duas possíveis situações:
- Se $ X > 5 $, então a maior distância é $ X $ e a menor é $ 10 - X $.
- Se $ X < 5 $, então a maior distância é $ 10 - X $ e a menor é $ X $.
Passo 5
Vamos resolver cada caso separadamente.
Caso 1: $ X > 5 $
Queremos:
Então, para $ X > \frac{20}{3} $, a razão $ R > 2 $.
Caso 2: $ X < 5 $
Queremos:
Então, para $ X < \frac{10}{3} $, a razão $ R > 2 $.
Passo 6
Agora, vamos calcular as probabilidades desses dois intervalos usando a f.d.p encontrada:
Probabilidade para $ X > \frac{20}{3} $:
Calculando:
Probabilidade para $ X < \frac{10}{3} $:
Passo 7
A probabilidade total de que a razão $ R > 2 $ é a soma das duas probabilidades:
Resposta
A probabilidade de que a razão entre a maior e a menor distância do ponto de ruptura até uma das extremidades seja maior que 2 é $ \frac{2}{3} $ ou aproximadamente 66,67%.