Considere que a localização (distância até uma das extremidades) do ponto de ruptura X de um cabo de 10 metros tenha f.d.p dada por
f(x)= c x, & se 0= 10
Determine
© a probabilidade de que a razão entre a maior e a menor distância do ponto ruptura até uma das extremidades seja maior do que 2 ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um cabo de 10 metros e um ponto de ruptura nele. A distância desse ponto até uma das extremidades é representada por $ X $ e tem uma função de densidade de probabilidade (f.d.p) dada por:
X
O conteúdo aqui envolve probabilidade contínua e funções de densidade. Vamos precisar entender como normalizar a f.d.p para encontrar a constante $ c $ e depois calcular a probabilidade pedida.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o valor de $ c $ para que $ f(x) $ seja uma função de densidade válida. Isso significa que a integral de $ f(x) $ de 0 a 10 deve ser igual a 1:
c
Vamos resolver essa integral:
f(x)
Então, temos:
f(x)

Passo 3

Agora que sabemos que $ c = \frac{1}{50} $, podemos reescrever a f.d.p:
c = 150 á

Passo 4

Precisamos encontrar a probabilidade de que a razão entre a maior e a menor distância do ponto de ruptura até uma das extremidades seja maior que 2. Vamos chamar essa razão de $ R $:
R ââ
Vamos considerar as duas possíveis situações:
  1. Se $ X > 5 $, então a maior distância é $ X $ e a menor é $ 10 - X $.
  2. Se $ X < 5 $, então a maior distância é $ 10 - X $ e a menor é $ X $.

Passo 5

Vamos resolver cada caso separadamente.
Caso 1: $ X > 5 $
Queremos:
X > 5
Então, para $ X > \frac{20}{3} $, a razão $ R > 2 $.
Caso 2: $ X < 5 $
Queremos:
X10 - X > 2 implies X > 2(10 - X) implies X > 20 - 2X implies 3X > 20 implies X > 203 approx 66
Então, para $ X < \frac{10}{3} $, a razão $ R > 2 $.

Passo 6

Agora, vamos calcular as probabilidades desses dois intervalos usando a f.d.p encontrada:
f(x) = x50
Probabilidade para $ X > \frac{20}{3} $:
X > 203
Calculando:
P(X > 203) = integral203^10 x50 , dx = 150 [ x^22 ]203^10
Probabilidade para $ X < \frac{10}{3} $:
150 ( 1002 - (203)^22 ) = 150 ( 50 - 4009 times 2 ) = 150 ( 50 - 2009 ) = 150 ( 450 - 2009 ) = 250450 = 59

Passo 7

A probabilidade total de que a razão $ R > 2 $ é a soma das duas probabilidades:
R > 2

Resposta

A probabilidade de que a razão entre a maior e a menor distância do ponto de ruptura até uma das extremidades seja maior que 2 é $ \frac{2}{3} $ ou aproximadamente 66,67%.

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