O número total de horas, medido em unidades de 100 horas, que uma família utiliza o aspirador de pó em sua casa, durante o período de um ano, é uma variável aleatória contínua que tem função de densidade
Determine
(a) a probabilidade de que [X<0,7];
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema nos dá uma função de densidade $ f(x) $ para uma variável aleatória contínua $ X $, que representa o número total de horas que uma família usa o aspirador de pó durante um ano, medido em unidades de 100 horas. Nosso objetivo é encontrar a probabilidade de que $ X $ seja menor que 0,7, ou seja, $ P(X < 0,7) $. Para isso, vamos precisar entender como funciona uma função de densidade de probabilidade e como calcular probabilidades usando integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função de densidade de probabilidade $ f(x) $ nos dá a “densidade” de probabilidade em cada ponto $ x $. Para encontrar a probabilidade de $ X $ estar em um intervalo, a gente integra $ f(x) $ nesse intervalo. Ou seja, $ P(a < X < b) = \int_{a}^{b} f(x) , dx $.
Passo 3
No nosso caso, queremos $ P(X < 0,7) $. Como a função $ f(x) $ é definida de 0 a 2, e 0,7 está dentro desse intervalo (entre 0 e 1), vamos usar a parte da função onde $ f(x) = x $. Então, a probabilidade será a integral de $ x $ de 0 a 0,7.
Passo 4
Vamos calcular a integral:
integral0^0,7 x , dx
Para integrar $ x $, usamos a regra básica de integração onde $ \int x , dx = \frac{x^2}{2} $.
Passo 5
Aplicando os limites:
x^22 |0^0,7 = (0,7)^22 - 0^22 = 0,492 - 0 = 0,245
Resposta
A probabilidade de que $ X $ seja menor que 0,7 é 0,245, ou 24,5%.