Considere uma prova de múltipla escolha com 5 questões e 4 alternativas cada, sendo que apenas uma é correta. Cada questão respondida corretamente vale 2 pontos. Suponha que um aluno responde cada questão, independentemente das demais, com probabilidade de acerto igual a 0,5. Considere X o número de questões que este aluno acerta e Y a nota que este aluno recebe.
(a) Ache a distribuição de X e Y; Quais destas variáveis tem distribuição Binomial?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma prova de múltipla escolha com 5 questões, cada uma com 4 alternativas, mas só uma está certa. Cada resposta certa vale 2 pontos. Um aluno tenta adivinhar cada questão com uma chance de acerto de 50% (0,5). Precisamos descobrir as distribuições de $ X $ (número de acertos) e $ Y $ (nota final), e saber qual dessas variáveis segue uma distribuição Binomial. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade e distribuição binomial.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a distribuição de $ X $, que é o número de questões que o aluno acerta. Como o aluno tem 5 questões e cada uma tem uma probabilidade de 0,5 de ser acertada, e as tentativas são independentes, isso se encaixa perfeitamente na distribuição Binomial.
A distribuição Binomial é definida por dois parâmetros: $ n $ (número de tentativas) e $ p $ (probabilidade de sucesso em cada tentativa). Aqui, $ n = 5 $ e $ p = 0,5 $.
Então, a probabilidade de o aluno acertar exatamente $ k $ questões é dada por:
X
onde $ \binom{5}{k} $ é o número de combinações de 5 questões tomadas $ k $ a $ k $.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a distribuição de $ Y $, que é a nota que o aluno recebe. Cada acerto vale 2 pontos, então a nota $ Y $ está diretamente relacionada ao número de acertos $ X $:
Y
Isso significa que $ Y $ pode assumir os valores 0, 2, 4, 6, 8 ou 10, dependendo de quantas questões o aluno acertou. A probabilidade de cada valor de $ Y $ é a mesma que a probabilidade correspondente de $ X $. Por exemplo:
Y

Passo 4

Agora, vamos ver qual dessas variáveis segue uma distribuição Binomial. A distribuição Binomial requer que haja um número fixo de tentativas independentes, cada uma com a mesma probabilidade de sucesso, e que conte o número de sucessos.
No caso, $ X $ atende a todos esses requisitos: 5 tentativas, cada uma com probabilidade 0,5 de sucesso, e as tentativas são independentes.
Já $ Y $ é uma transformação linear de $ X $ (multiplica por 2), então $ Y $ não é Binomial, mas sim uma variável que depende de uma variável Binomial.

Resposta

A variável $ X $, que representa o número de acertos, segue uma distribuição Binomial com parâmetros $ n = 5 $ e $ p = 0,5 $. A distribuição de $ Y $, a nota final, é dada por $ Y = 2X $ e não é Binomial. Portanto, apenas $ X $ tem distribuição Binomial.

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