O número total de horas, medido em unidades de 100 horas, que uma família utiliza o aspirador de pó em sua casa, durante o período de um ano, é uma variável aleatória contínua X que tem função de densidade
f(x)= x, & 0á
Determine
(e) a variância de X.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão fala sobre o número total de horas que uma família usa o aspirador de pó durante um ano. Esse número está representado por uma variável aleatória contínua $ X $ com uma função de densidade específica. Nosso objetivo aqui é encontrar a variância dessa variável $ X $.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de estatística, como função de densidade, valor esperado ($ E[X] X â Var(X) $). Vou te guiar passo a passo para que tudo fique bem claro!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a função de densidade $ f(x) $. Ela nos diz a probabilidade de $ X $ assumir um valor dentro de um certo intervalo. No nosso caso, a função $ f(x) $ é definida por partes:
f(x) á
Isso significa que a distribuição de $ X $ muda dependendo do intervalo de $ x $.

Passo 3

Para encontrar a variância $ Var(X) $, precisamos primeiro calcular o valor esperado $ E[X] $ e o valor esperado do quadrado $ E[X^2] $. A variância é então dada por:
Var(X)
Vamos começar calculando $ E[X] $.

Passo 4

O valor esperado $ E[X] $ para uma variável contínua é dado pela integral de $ x \cdot f(x) $ sobre todo o domínio de $ x $. No nosso caso:
E[X]
Como $ f(x) $ é diferente de zero apenas entre 0 e 2, podemos simplificar:
x cdot f(x)
Vamos resolver essas integrais separadamente.

Passo 5

Primeiro, calculamos $ \int_{0}^{1} x \cdot x , dx $:
integral0^1 x cdot x , dx
Agora, calculamos $ \int_{1}^{2} x \cdot (2 - x) , dx $:
integral0^1 x^2 , dx = [ x^33 ]0^1 = 13 - 0 = 13
Calculando os limites:
integral1^2 x cdot (2 - x) , dx

Passo 6

Agora, somamos os resultados das duas integrais para obter $ E[X] $:
E[X]
Então, o valor esperado de $ X $ é 1.

Passo 7

Agora, vamos calcular $ E[X^2] $. A fórmula é similar:
E[X^2]
Simplificando:
E[X^2] = integral0^1 x^2 cdot x , dx + integral1^2 x^2 cdot (2 - x) , dx
Vamos resolver cada integral separadamente.

Passo 8

Primeiro, calculamos $ \int_{0}^{1} x^3 , dx $:
integral0^1 x^3 , dx
Agora, calculamos $ \int_{1}^{2} x^2 (2 - x) , dx $:
integral0^1 x^3 , dx = [ x^44 ]0^1 = 14 - 0 = 14
Calculando os limites:
integral1^2 x^2 (2 - x) , dx
Simplificando:
integral1^2 (2x^2 - x^3) , dx = [ 2x^33 - x^44 ]1^2

Passo 9

Agora, somamos os resultados das duas integrais para obter $ E[X^2] $:
E[X^2]
Então, o valor esperado de $ X^2 $ é $ \frac{7}{6} $.

Passo 10

Finalmente, calculamos a variância usando a fórmula:
Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = 76 - (1)^2 = 76 - 1 = 16

Resposta

A variância de $ X $ é $ \frac{1}{6} $.

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