O número total de horas, medido em unidades de 100 horas, que uma família utiliza o aspirador de pó em sua casa, durante o período de um ano, é uma variável aleatória contínua que tem função de densidade
Determine
(e) a variância de X.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão fala sobre o número total de horas que uma família usa o aspirador de pó durante um ano. Esse número está representado por uma variável aleatória contínua $ X $ com uma função de densidade específica. Nosso objetivo aqui é encontrar a variância dessa variável $ X $.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de estatística, como função de densidade, valor esperado ($ E[X] X â Var(X) $). Vou te guiar passo a passo para que tudo fique bem claro!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a função de densidade $ f(x) $. Ela nos diz a probabilidade de $ X $ assumir um valor dentro de um certo intervalo. No nosso caso, a função $ f(x) $ é definida por partes:
f(x) á
Isso significa que a distribuição de $ X $ muda dependendo do intervalo de $ x $.
Passo 3
Para encontrar a variância $ Var(X) $, precisamos primeiro calcular o valor esperado $ E[X] $ e o valor esperado do quadrado $ E[X^2] $. A variância é então dada por:
Var(X)
Vamos começar calculando $ E[X] $.
Passo 4
O valor esperado $ E[X] $ para uma variável contínua é dado pela integral de $ x \cdot f(x) $ sobre todo o domínio de $ x $. No nosso caso:
E[X]
Como $ f(x) $ é diferente de zero apenas entre 0 e 2, podemos simplificar:
x cdot f(x)
Vamos resolver essas integrais separadamente.
Passo 5
Primeiro, calculamos $ \int_{0}^{1} x \cdot x , dx $: