Considere que a localização (distância até uma das extremidades) do ponto de ruptura
de um cabo de 10 metros tenha f.d.p dada por
Determine
(b) a probabilidade de que a distância entre o ponto de ruptura e o ponto médio do cabo exceda 2 metros;
(b) a probabilidade de que a distância entre o ponto de ruptura e o ponto médio do cabo exceda 2 metros;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um cabo de 10 metros e queremos descobrir a probabilidade de que o ponto onde ele quebra esteja a mais de 2 metros do ponto médio. O conteúdo aqui é de Probabilidade, especificamente usando funções de densidade de probabilidade. Vamos precisar entender como a função $ f(x) $ está definida e usar cálculo para encontrar essa probabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função de densidade de probabilidade (f.d.p) que foi dada:
Como é uma f.d.p, a integral de $ f(x) $ de 0 a 10 deve ser igual a 1. Então, vamos achar o valor de $ c $:
Resolvendo a integral:
Passo 3
Agora que sabemos que $ c = \frac{1}{50} $, nossa função de densidade fica:
Queremos a probabilidade de que a distância entre o ponto de ruptura e o ponto médio (que é 5 metros) seja maior que 2 metros. Matemáticamente, isso significa:
O que equivale a:
Passo 4
Vamos calcular essa probabilidade separadamente para $ X < 3 $ e $ X > 7 $ e depois somar os resultados.
Primeiro, para $ X < 3 $:
Segundo, para $ X > 7 $:
Agora, somando as duas probabilidades:
Resposta
A probabilidade de que a distância entre o ponto de ruptura e o ponto médio do cabo exceda 2 metros é 0,6 ou 60%.