Num teste educacional em crianças, o tempo para a realização de uma bateria de questões de raciocínio verbal e lógico é medido e registrado para ser comparado com um modelo teórico. Este teste é utilizado para identificar o desenvolvimento das crianças e auxiliar a aplicação de medidas corretivas. O modelo teórico considera
, o tempo de teste em minutos, como uma variável aleatória contínua com função de densidade de probabilidade dada por
(b) Qual o tempo médio de duração de um teste de acordo com este modelo teórico?
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar o tempo médio que as crianças levam para fazer o teste, de acordo com o modelo teórico fornecido. Isso faz parte da matéria de Probabilidade e Estatística, especificamente trabalhando com variáveis aleatórias contínuas e a função de densidade de probabilidade. Para isso, vamos calcular o valor esperado da variável aleatória $ T $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o valor esperado. O valor esperado de uma variável aleatória contínua $ T $ é basicamente a média ponderada de todos os possíveis valores que $ T $ pode assumir, ponderados pela probabilidade de cada valor ocorrer. Matematicamente, isso é representado por:
No nosso caso, a função de densidade $ f(t) $ é diferente em dois intervalos de $ t $, então vamos dividir a integral nesses dois intervalos.
Passo 3
Vamos identificar os intervalos onde $ f(t) $ é diferente de zero:
- De 8 a 10 minutos: $ f(t) = \frac{1}{40}(t - 4) $
- De 10 a 15 minutos: $ f(t) = \frac{3}{20} $
Em outros valores de $ t $, $ f(t) = 0 $, então não precisamos considerar esses valores na nossa integral.
Passo 4
Agora, vamos escrever a expressão do valor esperado dividindo a integral nos dois intervalos identificados:
Passo 5
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente. Começando pela primeira integral:
Primeiro, multiplicamos os termos dentro da integral:
Então, temos:
Passo 6
Agora, vamos integrar termo a termo:
Avaliado de 8 a 10:
Calculando:
Então, a primeira integral fica:
Passo 7
Agora, vamos calcular a segunda integral:
Integrando $ t $:
Avaliado de 10 a 15:
Então, a segunda integral fica:
Passo 8
Finalmente, somamos os resultados das duas integrais para encontrar o valor esperado:
Resposta
O tempo médio de duração de um teste, de acordo com o modelo teórico, é aproximadamente 11,64 minutos.