Num teste educacional em crianças, o tempo para a realização de uma bateria de questões de raciocínio verbal e lógico é medido e registrado para ser comparado com um modelo teórico. Este teste é utilizado para identificar o desenvolvimento das crianças e auxiliar a aplicação de medidas corretivas. O modelo teórico considera T, o tempo de teste em minutos, como uma variável aleatória contínua com função de densidade de probabilidade dada por
f(t)= 140(t-4), & se 8 <= t<10 320, & se 10 <= t <= 15, 0, & se t<8 ou t>15
(b) Qual o tempo médio de duração de um teste de acordo com este modelo teórico?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar o tempo médio que as crianças levam para fazer o teste, de acordo com o modelo teórico fornecido. Isso faz parte da matéria de Probabilidade e Estatística, especificamente trabalhando com variáveis aleatórias contínuas e a função de densidade de probabilidade. Para isso, vamos calcular o valor esperado da variável aleatória $ T $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o valor esperado. O valor esperado de uma variável aleatória contínua $ T $ é basicamente a média ponderada de todos os possíveis valores que $ T $ pode assumir, ponderados pela probabilidade de cada valor ocorrer. Matematicamente, isso é representado por:
T
No nosso caso, a função de densidade $ f(t) $ é diferente em dois intervalos de $ t $, então vamos dividir a integral nesses dois intervalos.

Passo 3

Vamos identificar os intervalos onde $ f(t) $ é diferente de zero:
  1. De 8 a 10 minutos: $ f(t) = \frac{1}{40}(t - 4) $
  2. De 10 a 15 minutos: $ f(t) = \frac{3}{20} $
Em outros valores de $ t $, $ f(t) = 0 $, então não precisamos considerar esses valores na nossa integral.

Passo 4

Agora, vamos escrever a expressão do valor esperado dividindo a integral nos dois intervalos identificados:
E[T] = integral8^10 t cdot 140(t - 4) , dt + integral10^15 t cdot 320 , dt

Passo 5

Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente. Começando pela primeira integral:
integral8^10 t cdot 140(t - 4) , dt = 140 integral8^10 t(t - 4) , dt
Primeiro, multiplicamos os termos dentro da integral:
t(t - 4) = t^2 - 4t
Então, temos:
140 integral8^10 (t^2 - 4t) , dt

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral (t^2 - 4t) , dt = t^33 - 2t^2
Avaliado de 8 a 10:
[ 10^33 - 2 cdot 10^2 ] - [ 8^33 - 2 cdot 8^2 ] = ( 10003 - 200 ) - ( 5123 - 128 )
Calculando:
= ( 10003 - 6003 ) - ( 5123 - 3843 ) = 4003 - 1283 = 2723
Então, a primeira integral fica:
140 cdot 2723 = 272120 = 6830 = 3415

Passo 7

Agora, vamos calcular a segunda integral:
integral10^15 t cdot 320 , dt = 320 integral10^15 t , dt
Integrando $ t $:
t
Avaliado de 10 a 15:
integral t , dt = t^22
Então, a segunda integral fica:
[ 15^22 ] - [ 10^22 ] = ( 2252 ) - ( 1002 ) = 1252

Passo 8

Finalmente, somamos os resultados das duas integrais para encontrar o valor esperado:
E[T] = 3415 + 758 = 34 cdot 8 + 75 cdot 15120 = 272 + 1125120 = 1397120 approx 11,64 minutos

Resposta

O tempo médio de duração de um teste, de acordo com o modelo teórico, é aproximadamente 11,64 minutos.

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