O número total de horas, medido em unidades de 100 horas, que uma família utiliza o aspirador de pó em sua casa, durante o período de um ano, é uma variável aleatória contínua X que tem função de densidade
f(x)= x, & 0á
Determine
© a probabilidade de que [0,7;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o número total de horas que uma família usa o aspirador de pó em um ano, representado pela variável aleatória contínua $ X $. A gente está lidando com a matéria de Probabilidade, mais especificamente com funções de densidade. Para resolver a parte ©, precisamos calcular a probabilidade de que $ X $ esteja entre 0,7 e 1,3 unidades de 100 horas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função de densidade $ f(x) $ que nos foi dada:
f(x) á
Essa função nos diz a “densidade” de probabilidade em cada intervalo de $ x $. Para encontrar a probabilidade de $ X $ estar entre 0,7 e 1,3, precisamos integrar $ f(x) $ nesse intervalo.

Passo 3

Como a função $ f(x) $ muda de expressão em $ x = 1 $, vamos dividir a integral em duas partes:
  1. De 0,7 até 1 (onde $ f(x) = x $).
  2. De 1 até 1,3 (onde $ f(x) = 2 - x $).

Passo 4

Vamos calcular a primeira parte da integral, de 0,7 até 1:
integral0,7^1 x , dx
A integral de $ x $ em relação a $ x $ é $ \frac{x^2}{2} $. Então:
x

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda parte da integral, de 1 até 1,3:
integral1^1,3 (2 - x) , dx
A integral de $ 2 - x $ em relação a $ x $ é $ 2x - \frac{x^2}{2} $. Então:
2 - x
x

Passo 6

Agora, somamos as duas probabilidades que encontramos:
0,255 + 0,255 = 0,51

Resposta

A probabilidade de que $ 0,7 < X < 1,3 $ é de 0,51.

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