Considere uma prova de múltipla escolha com 5 questões e 4 alternativas cada, sendo que apenas uma é correta. Cada questão respondida corretamente vale 2 pontos. Suponha que um aluno responde cada questão, independentemente das demais, com probabilidade de acerto igual a 0,5. Considere X o número de questões que este aluno acerta e Y a nota que este aluno recebe.
© Ache a média e a variância de X e Y. Escreva uma fórmula que relacione as médias e variâncias de X e Y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma prova de múltipla escolha com 5 questões, cada uma com 4 alternativas e só uma está correta. Cada resposta certa vale 2 pontos. O aluno tem 50% de chance de acertar cada questão, e cada resposta é independente das outras. Queremos descobrir a média e a variância de $ X $ (número de acertos) e $ Y $ (nota final), além de relacionar essas médias e variâncias.

Passo 2

Primeiro, vamos focar em $ X $, o número de acertos. Como cada questão tem duas possibilidades: certo ou errado, e a probabilidade de acerto é 0,5, isso se encaixa bem em uma distribuição binomial. A distribuição binomial é usada quando temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas possíveis resultados.

Passo 3

Para uma variável aleatória binomial $ X $ com parâmetros $ n $ (número de experimentos) e $ p $ (probabilidade de sucesso), a média $ \mu_X $ é dada por:
X
E a variância $ \sigma_X^2 $ é:
n

Passo 4

Aplicando isso ao nosso caso:
  • $ n = 5 $ (5 questões)
  • $ p = 0.5 $ (probabilidade de acerto)
Então,
n = 5
E,
p = 0.5

Passo 5

Agora, vamos para $ Y $, a nota final. Cada acerto vale 2 pontos, então $ Y $ está diretamente relacionado a $ X $ por:
Y

Passo 6

Para encontrar a média de $ Y $, usamos a propriedade da média para uma transformação linear:
Y

Passo 7

Para a variância de $ Y $, lembramos que quando multiplicamos a variável por uma constante, a variância é multiplicada pelo quadrado dessa constante:
Y

Resposta

A média de $ X $ é 2,5 e sua variância é 1,25. A média de $ Y $ é 5 e sua variância é 5. A fórmula que relaciona as médias e variâncias de $ X $ e $ Y $ é:
X
Y
X

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