Considere uma prova de múltipla escolha com 5 questões e 4 alternativas cada, sendo que apenas uma é correta. Cada questão respondida corretamente vale 2 pontos. Suponha que um aluno responde cada questão, independentemente das demais, com probabilidade de acerto igual a 0,5. Considere
o número de questões que este aluno acerta e
a nota que este aluno recebe.
(b) Qual a probabilidade de
? Qual a probabilidade de
?
(b) Qual a probabilidade de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma prova de múltipla escolha com 5 questões, cada uma tendo 4 alternativas, mas só uma correta. Cada resposta certa vale 2 pontos. Um aluno está respondendo cada pergunta com 50% de chance de acertar. Precisamos calcular a probabilidade de a nota $ Y $ desse aluno ser pelo menos 5 pontos ($ Y \geq 5
5 \leq Y \leq 9 $).
Para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre distribuição binomial, que nos ajuda a calcular probabilidades de eventos com dois resultados possíveis (acertar ou errar) que são independentes uns dos outros.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis:
- $ X $: número de questões que o aluno acerta.
- $ Y $: nota do aluno, que é $ Y = 2X $ (já que cada acerto vale 2 pontos).
Queremos encontrar $ P(Y \geq 5) $ e $ P(5 \leq Y \leq 9) $.
Passo 3
Vamos relacionar $ Y $ com $ X $. Como $ Y = 2X $:
- $ Y \geq 5 $ significa $ 2X \geq 5 $ → $ X \geq 3 $ (porque $ X $ só pode ser inteiro).
- $ 5 \leq Y \leq 9 $ significa $ 2X $ está entre 5 e 9. Como $ Y $ deve ser par (multiplo de 2), isso corresponde a $ Y = 6 $ ($ X=3 $) e $ Y = 8 $ ($ X=4 $).
Passo 4
Agora, vamos calcular $ P(X \geq 3) $ e $ P(3 \leq X \leq 4) $ usando a distribuição binomial. A fórmula da probabilidade binomial é:
Onde:
- $ n = 5 $ (número de questões),
- $ p = 0.5 $ (probabilidade de acertar cada questão),
- $ k $ é o número de acertos.
Passo 5
Calculando as probabilidades individuais:
- Para $ X = 3 $:
- Para $ X = 4 $:
- Para $ X = 5 $:
Passo 6
Agora, somamos as probabilidades para $ X \geq 3 $:
E para $ 3 \leq X \leq 4 $:
Resposta
A probabilidade de a nota $ Y $ ser pelo menos 5 pontos é 50% e a probabilidade de $ Y $ estar entre 5 e 9 pontos é aproximadamente 46,88%.