Considere uma prova de múltipla escolha com 5 questões e 4 alternativas cada, sendo que apenas uma é correta. Cada questão respondida corretamente vale 2 pontos. Suponha que um aluno responde cada questão, independentemente das demais, com probabilidade de acerto igual a 0,5. Considere X o número de questões que este aluno acerta e Y a nota que este aluno recebe.
(b) Qual a probabilidade de Y >= 5 ? Qual a probabilidade de 5 <= Y <= 9 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma prova de múltipla escolha com 5 questões, cada uma tendo 4 alternativas, mas só uma correta. Cada resposta certa vale 2 pontos. Um aluno está respondendo cada pergunta com 50% de chance de acertar. Precisamos calcular a probabilidade de a nota $ Y $ desse aluno ser pelo menos 5 pontos ($ Y \geq 5 Y 5 \leq Y \leq 9 $).
Para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre distribuição binomial, que nos ajuda a calcular probabilidades de eventos com dois resultados possíveis (acertar ou errar) que são independentes uns dos outros.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis:
  • $ X $: número de questões que o aluno acerta.
  • $ Y $: nota do aluno, que é $ Y = 2X $ (já que cada acerto vale 2 pontos).
Queremos encontrar $ P(Y \geq 5) $ e $ P(5 \leq Y \leq 9) $.

Passo 3

Vamos relacionar $ Y $ com $ X $. Como $ Y = 2X $:
  • $ Y \geq 5 $ significa $ 2X \geq 5 $ → $ X \geq 3 $ (porque $ X $ só pode ser inteiro).
  • $ 5 \leq Y \leq 9 $ significa $ 2X $ está entre 5 e 9. Como $ Y $ deve ser par (multiplo de 2), isso corresponde a $ Y = 6 $ ($ X=3 $) e $ Y = 8 $ ($ X=4 $).

Passo 4

Agora, vamos calcular $ P(X \geq 3) $ e $ P(3 \leq X \leq 4) $ usando a distribuição binomial. A fórmula da probabilidade binomial é:
P(X >= 3)
Onde:
  • $ n = 5 $ (número de questões),
  • $ p = 0.5 $ (probabilidade de acertar cada questão),
  • $ k $ é o número de acertos.

Passo 5

Calculando as probabilidades individuais:
  • Para $ X = 3 $:
X = 3
  • Para $ X = 4 $:
P(X=3) = binom53 (0.5)^3 (0.5)^2 = 10 times 0.125 times 0.25 = 0.3125
  • Para $ X = 5 $:
X = 4

Passo 6

Agora, somamos as probabilidades para $ X \geq 3 $:
X >= 3
E para $ 3 \leq X \leq 4 $:
P(X >= 3) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) = 0.3125 + 0.15625 + 0.03125 = 0.5

Resposta

A probabilidade de a nota $ Y $ ser pelo menos 5 pontos é 50% e a probabilidade de $ Y $ estar entre 5 e 9 pontos é aproximadamente 46,88%.

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