Considere que a localização (distância até uma das extremidades) do ponto de ruptura X de um cabo de 10 metros tenha f.d.p dada por
f(x)= c x, & se 0= 10
Determine
(d) a média de X;

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um cabo de 10 metros e queremos saber onde ele pode romper, representado pela variável X, que indica a distância até uma das extremidades. A função de densidade de probabilidade (f.d.p) para X é dada por:
f(x)= c cdot x, & se 0 < x < 10 0, & caso contrário á
Para resolver este exercício, precisamos calcular a média de X, ou seja, o valor esperado dessa distribuição. Para isso, vamos precisar encontrar o valor da constante c que torna f(x) uma função de densidade válida e, em seguida, usar esse valor para calcular a média.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor da constante c. Sabemos que a integral da função de densidade de probabilidade sobre todo o seu domínio deve ser igual a 1. Então, temos:
integral0^10 f(x) , dx = 1
Substituindo f(x):
integral0^10 c cdot x , dx = 1
Calculando a integral:
c cdot integral0^10 x , dx = c cdot [ x^22 ]0^10 = c cdot ( 10^22 - 0 ) = c cdot 50
Então:
50c = 1 Rightarrow c = 150

Passo 3

Agora que sabemos que c = 150, podemos calcular a média de X. A média é dada por:
E[X] = integral0^10 x cdot f(x) , dx
Substituindo f(x):
E[X] = integral0^10 x cdot ( 150 cdot x ) , dx = 150 integral0^10 x^2 , dx
Calculando a integral:
150 cdot [ x^33 ]0^10 = 150 cdot ( 10003 - 0 ) = 1000150 = 203

Resposta

A média de X é 203 metros.

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